1 of 11

2 of 11

Рівняння площини має вигляд:

Коефіцієнти a, b, c в даному рівнянні являються координатами вектора, перпендикулярного до даної площини. Якщо точка належить даній площині, то її координати задовольняють дане рівняння.

ax + by + cz + d = 0

3 of 11

Приклад 1. Знайти точки перетину площини 3x+4y+z=12 з осями координат.

Розв’язання.

Ординати і аплікати точок координатної осі Ох дорівнюють нулю. Тому абсциса точки перетину даної площини з віссю Ох задовольняє рівняння:

3·х+4·0+0=12. х=4. (4, 0, 0)

Аналогічно знаходимо точки перетину даної площини з осями Oy і Oz:

3·0+4·y+0=12. y =3. (0, 3, 0)

3·0+4·0 + z =12. z=12. (0, 0, 12)

Відповідь. (4, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 12).

4 of 11

Фігура, складена з усіх точок простору, відстань від яких до даної точки однакова, називається сферою.

Рівняння сфери з центром в точці О(a, b, c) і радіусом R має вигляд:

Тіло, що складається з усіх точок простору, відстань від яких до даної точки не більша за дану, називається кулею.

Нерівність кулі з центром в точці О(a, b, c) і радіусом R має вигляд:

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 ≤ R2

Якщо точка належить даній сфері, то її координати задовольняють дане рівняння.

Якщо точка належить даній кулі, то її координати задовольняють дану нерівність.

5 of 11

Приклад 1. Дано сферу (x-3)2+(y+1)2+z2=25.�1. Знайти відстань від центра сфери до точки (0; 2; -1).�2. Скласти нерівність кулі з цим самим радіусом і центром в точці (0; 2; -1).

Розв’язання.

1) Центром даної сфери є точка з координатами (3; -1; 0). Знайдемо відстань d між точками з координатами (0; 2; -1) і (3; -1; 0):

2) Радіус даної кулі дорівнює 5. Тому кулі радіусом 5 і центром у точці (0; 2; -1) відповідає нерівність:

x2+(y-2)2+(z+1)2 ≤ 25

6 of 11

Яка з точок належить площині, рівняння якої має вигляд:�3x+4y+z=12

(1; 2; 3)

(-3; 5; -1)

(2; 1; -2)

(-2; 5; -2)

Оберіть правильну відповідь.

Увага! Якщо відповідь неправильна, завдання розпочинаються з початку!

7 of 11

Яка з точок належить сфері, рівняння якої має вигляд:�(x-1)2+(y+7)2+(z-2)2=169

(5; 5; 6)

(-3; 5; -1)

(5; 5; -2)

(-1; 5; -3)

Оберіть правильну відповідь.

Увага! Якщо відповідь неправильна, завдання розпочинаються з початку!

8 of 11

Визначити координати центра та радіус сфери, рівняння якої має вигляд:�(x-3)2+(y+2)2+(z-4)2=9

(-3; 2; -4); 9

(3; -2; 4); 9

(3; -2; 4); 3

(-3; 2; -4); 3

Оберіть правильну відповідь.

Увага! Якщо відповідь неправильна, завдання розпочинаються з початку!

9 of 11

Скласти рівняння сфери, радіус якої 9, а центр знаходиться в точці, з координатами (-1; 2; -4)

(x-1)2+(y+2)2+(z-4)2=9

(x+1)2+(y-2)2+(z+4)2=9

(x+1)2+(y-2)2+(z+4)2=81

(x-1)2+(y+2)2+(z-4)2=81

Оберіть правильну відповідь.

Увага! Якщо відповідь неправильна, завдання розпочинаються з початку!

10 of 11

11 of 11

Література:

  1. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Математика. 11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень стандарту. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2011. – 480 с.
  2. Полонський В.Б.,Рабінович Ю.М., Якір М.С. Вчимося розв’язувати задачі з геометрії. Навчально-методичний посібник. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2002. – 240 с.
  3. Раухман А.С., Сень Я.Г. Усні вправи з геометрії для 7-11 класів: Посібник для вчителя. – К.: Рад. шк., 1989. – 160 с.
  4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1988. – 416 с.
  5. Погорєлов А.В. Геометрія: підручник для 7-11 кл. серед. шк. – 2-ге вид. – К.: Освіта, 1992. – 351 с.