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UNIVERSIDAD REGIOMONTANA

Nombre del alumno (a):

Fran Ana Laura Ramos Gómez

Materia:

MÉTODOS NUMÉRICOS

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Método de Diferencias Divididas

I - Definición del Método*

II - Antecedentes del Método y Métodos Relacionados*

III - Fórmula Matemática del Método*

IV - Algoritmo del Método (Paso a paso)*

V - Aplicación del Método de Diferencias Divididas en la Ingeniería Mecatrónica*

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I- Definición del Método

El método de diferencias divididas es una técnica de Interpolación numérica utilizada para encontrar un polinomio que pase por un conjunto de puntos dados. Se basa en calcular las diferencias entre valores sucesivos de la función, organizándolas en una tabla escalonada.

Este método es útil para estimar valores intermedios entre datos conocidos, sin necesidad de conocer la ecuación exacta de la función.

*Interpolación: Método matemático que nos permite estimar valores desconocidos dentro de un rango de datos conocidos. Nos ayuda a encontrar una función matemática que pase exactamente por un conjunto de puntos dados.

*Polinomio: Expresión matemática compuesta por términos de la forma:

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II- Antecedentes del Método y Métodos Relacionados

Método de diferencias divididas fué desarrollado por Isaac Newton y es una mejora del método de Interpolación de Lagrange.

Métodos relacionados:

Interpolación de Lagrange: También encuentra un polinomio interpolador, pero sin usar diferencias divididas, lo que lo hace menos eficiente cuando se agregan más puntos.

Diferencias Finitas: Son un caso especial de diferencias divididas cuando los valores de x están espaciados uniformemente.
Interpolación de Hermite: Similar, pero también considera derivadas.

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III- Fórmula Matemática del Método

El polinomio interpolador de Newton con diferencias divididas se expresa como:

Donde las diferencias divididas se calculan con la siguiente fórmula:

*Este proceso continúa hasta calcular todas las diferencias divididas necesarias para construir el polinomio interpolador.

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IV- Algoritmo del Método (Paso a paso)

1- Ingresar los datos:

Se tienen los puntos (x0,y0), (x1,y1),...

2- Construcción de la tabla de diferencias divididas:

Se calculan las diferencias sucesivas entre los valores f(x)
Se organizan en una tabla escalonada

3- Construcción del polinomio interpolador:

Se usa la ecuación de Newton con los coeficientes de la tabla

4- Evaluación del polinomio:

Se sustituye cualquier valor x para estimar el resultado

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V- Aplicación del Método de Diferencias Divididas en la Ingeniería Mecatrónica

1- Control y Automatización de Robots

En la robótica se usan sensores para recopilar datos de posición y velocidad de los motores de los brazos robóticos. Sin embargo, si los datos no están disponibles en ciertos momentos, el método de diferencias divididas se usa para interpolar valores intermedios y hacer correcciones en el control del robot.

2- Análisis de Vibraciones en Sistemas Mecánicos

En motores, engranajes y estructuras mecánicas, se monitorean vibraciones con sensores en diferentes puntos. Si faltan datos en algunos momentos, el método de diferencias divididas permite interpolar las señales y determinar patrones de vibración, ayudando a detectar fallas antes de que se vuelvan críticas.