1 of 78

στα Μαθηματικά�

«Tὸ ὡραῖον» �

2 of 78

3 of 78

​

  • Πιστεύω πως όλοι έχουμε την εμπειρία ενός όμορφου ουράνιου τόξου μετά από καταιγίδα. Ένα καλοσχηματισμένο ημικυκλικό, πολύχρωμο, παιχνιδιάρικο, κατευναστικό ουράνιο τόξο. Είναι ένα φυσικό φαινόμενο με γεωμετρική δομή και μαθηματική χρωματική διάταξη, εάν ληφθούν υπόψη οι συχνότητες της χρωματικής του παλέτας.

4 of 78

5 of 78

6 of 78

7 of 78

8 of 78

9 of 78

10 of 78

​

  • Όταν ο Νεύτονας εξήγησε τα χρώματα του ουράνιου τόξου χρησιμοποιώντας τη διάθλαση του φωτός, ο ποιητής John Keats εξοργίστηκε μ΄ αυτό. Ο Keats μέσω ενός ποιήματος εξέφρασε τη δυσαρέσκειά του και παραπονέθηκε λέγοντας ότι η μαθηματική εξήγηση του φαινομένου κλέβει όλη τη μαγεία από το θαύμα της φύσης, οδηγώντας στην κατάκτηση όλων των μυστηρίων με τη χρήση«κανόνα και διαβήτη».

11 of 78

12 of 78

13 of 78

14 of 78

​

  • Στην πραγματικότητα όμως, στην περίπτωση των ουράνιων τόξων, αυτό που κάνουν τα μαθηματικά είναι να αναλύουν τον βασικό σχηματισμό των καμπύλων γραμμών που αυτά σχηματίζουν και να ξεχωρίζουν τα μήκη κύματος της ακτινοβολίας των χρωμάτων, κάτι το οποίο κατά τη γνώμη μου είναι εξίσου κομψό και ποιητικό.
  • Τα μαθηματικά είναι δημιουργία! Είναι περιπλάνηση σε έναν κόσμο συμβόλων και ιδεών, σχημάτων και συμπερασμάτων… Είναι τέχνη και αρμονία, είναι αγάπη για το καθολικό, το σταθερό, το ορισμένο αλλά και για το απρόβλεπτο, το αναπάντεχο το άγνωστο το άπειρο το υπερβατικό.

15 of 78

16 of 78

17 of 78

​

  • Τα μαθηματικά μπορεί να είναι πραγματικά ωραία! Σύμφωνα μάλιστα με έρευνες, δημιουργούν στον εγκέφαλο την ίδια αίσθηση που γεννά ένα καλλιτεχνικό αριστούργημα ή η σύνθεση κάποιου μεγάλου μουσουργού. Τα θεωρήματα του Πυθαγόρα και του Euler σπάνια περιλαμβάνονται στην ίδια πρόταση με τα έργα του Shakespeare, του Beethoven ή του Monet. Και όμως, έρευνες δείχνουν ότι, ο εγκέφαλός μας αναγνωρίζει κάτι κοινό σε όλα αυτά με την ενεργοποίηση του αντίστοιχου τμήματος του εγκεφάλου που χειρίζεται το συναίσθημα, τη μάθηση, την ευχαρίστηση και την ανταμοιβή.

18 of 78

19 of 78

​

  • Οι εραστές των μαθηματικών συνήθως αναφέρουν

την ομορφιά ως έναν από τους κύριους λόγους που επιδιώκουν την ενασχόληση μαζί τους. Ποια είναι, λοιπόν, αυτή η ομορφιά που συναντά, που βιώνει κανείς στα μαθηματικά;

​

20 of 78

αισθητηριακή

εννοιολογική

διορατική

3 διαστάσεις του κάλλους

21 of 78

​

  • Το πρώτο και πιο προσιτό είδος μαθηματικής ομορφιάς είναι η αισθητηριακή ομορφιά. Θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε και εικαστική /ακουστική /γευστική ομορφιά. Αυτή είναι η ομορφιά που βιώνουμε βλέποντας έναν σχημα-τισμό με διακριτή γεωμετρική δομή ή ακούγοντας μια μελωδία με στοιχεία αρμονίας ή γευόμενοι ένα έδεσμα με ισορροπία, με τις σωστές αναλογίες. Τέτοιοι σχηματισμοί μπορεί να είναι φυσικοί ή τεχνητοί ή ακόμα και εικονικοί.

​

22 of 78

23 of 78

24 of 78

25 of 78

26 of 78

27 of 78

28 of 78

29 of 78

30 of 78

31 of 78

32 of 78

  • Τα πέταλα της μαργαρίτας, τα φτερά της πεταλούδας, τα κοχύλια, εντυπωσιακά σχέδια σε κυματισμούς άμμου, οι ρίγες μιας ζέβρας και το fractal μοτίβο ενός κουνουπιδιού Romanesco παράγονται όλα από μαθηματικούς νόμους. Η μουσική πάλι, ως μοτίβο ηχητικών κυμάτων παράγει επίσης βιώματα αισθητηριακής ομορφιάς. Τα έργα τέχνης σε κάθε πολιτισμό περιλαμβάνουν μοτίβα, που μερικές φορές δημιουργούνται με τη χρήση πολύπλοκων μαθηματικών ιδεών.

33 of 78

34 of 78

35 of 78

36 of 78

37 of 78

​

  • Η αισθητηριακού τύπου μαθηματική ομορφιά προσεγγίζεται και μέσα από την επαφή με τη φύση. Περπατώντας μέσα σε ένα όμορφο δάσος, εντοπίζςις και αρχίζεις να εκτιμάς τη σειρά και τα μοτίβα που βλέπεις. Γίνεσαι προσεκτικός σε μικρές μαθηματικές λεπτομέρειες: τα φύλλα της φτέρης, τα μανιτάρια, ο ιστός της αράχνης. Η ψυχή σου ησυχάζει.

38 of 78

39 of 78

40 of 78

41 of 78

42 of 78

​

  • Είναι η ίδια αίσθηση που βιώνει κανείς σε εμπνευσμένα αρχιτεκτονήματα όπως η Sainte-Chapelle στο Παρίσι με τα εκθαμβωτικά μοτίβα του ηλιακού φωτός που περνούν μέσα από τα βιτρό και τα συγκλονιστικά τόξα στην οροφή.

43 of 78

44 of 78

45 of 78

​

  • Η αρχιτεκτονική και η μουσική, λόγω της εμβυθιστικής φύσης τους, μπορούν να ενισχύσουν την αισθητηριακή ομορφιά. Όταν βιώνουμε την μαθηματική αισθητηριακή ωραιότητα στο ουράνιο τόξο ή στα τόξα του θόλου της Αγια-Σοφιάς, δεν βιώνουμε άραγε την ομορφιά της αφηρημένης άλγεβρας, την ομορφιά του λόγου, την ομορφιά των γεωμετρικών στοιχείων στο φυσικό και στο ανθρωπογενές περιβάλλον αντίστοιχα;

​

46 of 78

47 of 78

48 of 78

49 of 78

50 of 78

​

  • Ένα δεύτερο είδος μαθηματικής ομορφιάς είναι η ομορφιά των ιδεών. Η ομορφιά των ιδεών προκαλεί συναισθήματα δέους, περιέργειας, προσμονής, διερεύνησης, κάνοντας το μυαλό να σπινθιροβολεί, δημιουργώντας νέα νοητικά σχήματα/δομές, να αναρωτιέται, να είναι περίεργο, να κάνει ερωτήσεις. Παραδείγματα: η έννοια του κύκλου, της εφαπτομένης, του τόρου, της εξίσωσης, της συνάρτησης, κλπ κλπ. Ενώ η αισθητηριακή ομορφιά αφορά τα φυσικά αντικείμενα, η ομορφιά των μαθηματικών ιδεών δεν είναι τόσο άμεση και προφανής. Αντιλαμβανόμαστε βέβαια ότι η ομορφιά των μαθηματικών ιδεών είναι διαφορετικής τάξης από την αισθητηριακή ομορφιά.

​

51 of 78

52 of 78

​

  • Βλέποντας ένα καιρικό φαινόμενο, π.χ. χιονόπτωση, αναρωτιόμαστε τι και πώς συμβαίνει. Όταν ακούμε μια εξυψωτική αρμονία, μπορεί να αναρωτηθούμε γιατί ακούγεται τόσο δοξαστικά.

Και το πώς και το γιατί είναι η έναρξη της συνομιλίας με τις μαθηματικές ιδέες.

​

53 of 78

54 of 78

55 of 78

​

  • Αυτή η υπέροχη ομορφιά των ιδεών είναι απολύτως ανεξάρτητη από την αισθητηριακή ομορφιά. Όταν ένας μαθηματικός βλέπει την ομορφιά σε μια εξίσωση, όπως E = mc2, δεν τη θαυμάζει βέβαια για τη γραπτή φυσική της μορφή. Τη θαυμάζει για την ιδέα που περιέχεται μέσα της, η οποία λέει ότι κατά κάποιο τρόπο η ενέργεια και η μάζα είναι αλληλομετατρέψιμα. Νιώθει κανείς και δέος και θαυμασμό. Οι μαθηματικές ιδέες άρχισαν να αναπτύσσονται από τα προïστορικά χρόνια και το ωραίο είναι ότι συνεχίζουν να αναπτύσσονται διαρκώς νέες.

​

56 of 78

Χρυσή τομή - Λόγος φ

57 of 78

  • Η ιδέα του λόγου και της αναλογίας, είναι μια μαθηματική ιδέα που μετέρχεται και του αισθητού/αισθητηριακού και του κόσμου των ιδεών. Πρόκειται για μαθηματική σχέση η οποία έχει αποτέλεσμα αισθητηριακό, δημιουργώντας το αίσθημα της αρμονίας, του ωραίου. Αρκεί να αναφέρουμε ότι όλες οι αρμονικές σχέσεις στη φύση καθορίζονται από τον λόγο της χρυσής τομής, τον ονομαζόμενο φ, ίσο με 1,62. Οι αρχαίοι Έλληνες ήταν οι πρώτοι που τον είχαν προσδιορίσει μαθηματικώς και τον εφάρμοζαν σε κάθε καλλιτεχνική τους δημιουργία: γλυπτική, αρχιτεκτονική, μουσική. (συμβολίζεται με το γράμμα της ελληνικής αλφαβήτου φ προς τιμή του Φειδία).

58 of 78

  • Ένας τρίτος τύπος μαθηματικής ομορφιάς μπορεί να περιγραφεί ως διορατική ομορφιά. Διακρίνεται από την αισθητηριακή ομορφιά, που ασχολείται με τα αντικείμενα, και από την ομορφιά των ιδεών που ασχολείται με τις ιδέες. Η διορατική ομορφιά είναι η ομορφιά του συλλογισμού, των συσχετισμών, όπως ένα μαθηματικό μοντέλο για την εξήγηση π.χ. του εξαγωνικού σχήματος στα κελιά των μελισσών ή μια απόδειξη ενός θεωρήματος στη γεωμετρία.

​

59 of 78

60 of 78

  • Οι λογικά σωστές διατυπώσεις δεν επαρκούν για όσους αγαπούν τη διορατική ομορφιά - συχνά αναζητούν τις καλύτερες αποδείξεις, τις απλούστερες ή τις πιο κομψές. Ο μαθηματικός Paul Erdős είναι γνωστό ότι μιλούσε συχνά για το «Βιβλίο» που κρατά ο Θεός, στο οποίο καταγράφονται όλες οι πιο κομψές αποδείξεις θεωρημάτων.

​

61 of 78

62 of 78

​

  • Η διορατική ομορφιά βασίζεται σε κομψούς συλλογισμούς με τον ίδιο τρόπο που η ομορφιά ενός ποιήματος βασίζεται στις λέξεις που επιλέγονται. Έτσι η διορατική ομορφιά έχει το χαρακτηριστικό ότι εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την επικοινωνία. Αυτό που θα έπρεπε να είναι μια κομψή, ξεκάθαρη απόδειξη μπορεί να μην είναι ούτε διαυγές ούτε κομψό, εάν επικοινωνείται κακώς.
  • Αλλά όταν επικοινωνείται καλά, μπορεί να συγκινήσει την ψυχή σαν ποίημα ή να προκαλέσει απόλαυση όπως η έκπληξη ενός αστείου που λέγεται καλά. Οι μαθηματικοί εξερευνητές αισθάνονται λαχτάρα για τα συναισθήματα που γεννά η ομορφιά των συλλογισμών. Είναι ένα ιδιαίτερα δυνατό συναίσθημα αυτό που προκαλείται από έναν κομψό συλλογισμό. Είναι το Ω! του «Ωραίου» τη στιγμή που ξεδιπλώνεται μια αναλαμπή διορατικότητας — αυτή η συγκίνηση της ξαφνικής κατανόησης, όταν κάτι ομιχλώδες γίνεται κρυστάλλινο.

63 of 78

64 of 78

  • Το συναίσθημα που ακολουθεί είναι ενθουσιασμός που συχνά συνδέεται με τη μεγάλη εικόνα, καθώς όλα τελικά αποκτούν νόημα.

Η μαθηματική ομορφιά των συλλογισμών μοιάζει με την αίσθηση της εύρεσης ενός πολύτιμου στοιχείου που δεν ήξερες ότι το χρειαζόσουν και το οποίο ικανοποιεί επιθυμίες που ποτέ δεν ήξερες ότι είχες. Ο C.S. Lewis μίλησε για υπέροχες εμπειρίες ομορφιάς όπως «το άρωμα ενός λουλουδιού που δεν έχουμε ακόμα μυρίσει, ο απόηχος μιας μελωδίας που δεν έχουμε ακούσει, νέα από μια χώρα που δεν έχουμε επισκεφτεί ποτέ».

Και υπάρχει και συνέχεια.

​

65 of 78

  • Η βαθύτερη απόλαυση της μαθηματικής ομορφιάς μπορεί να ενισχυθεί από τα αισθητηριακά ερεθίσματα, αλλά οι διορατικές θεάσεις, ξεπερνούν τα αισθητά κατά πολύ κάνοντας τον εραστή των μαθηματικών να θεωρεί ότι μετέρχεται μιας μεγαλύτερης αλήθειας κάποιου είδους, ή μιας βαθιάς σύνδεσης με άλλες γνωστές ιδέες, αλλά και με το σύμπαν.
  • Όταν βιώνουμε αυτό το είδος ομορφιάς, νιώθουμε ένα βαθύ δέος και ακόμη και μια αίσθηση ευγνωμοσύνης.

​

​

66 of 78

  • Η υπερβατική ομορφιά που βρίσκουμε στους μαθηματικούς συλλογισμούς προκαλεί πράγματι την αίσθηση ότι υπάρχει κάτι πέρα ​​από την αντίληψή μας, που περιμένει να το βρούμε, το οποίο μπορεί να έχει απόλυτο νόημα. Όταν βλέπουμε την ίδια όμορφη ιδέα να αναδύεται παντού, αρχίζουμε να σκεφτόμαστε ότι δείχνει κάποια βαθύτερη αλήθεια που δεν έχουμε καταλάβει ακόμα.

67 of 78

​

  • Ακούγονται ψίθυροι που μας καλούν, αλλά δεν έχουμε βρει ακόμα την πηγή τους.

Το μαθηματικώς «ὡραῖον» είναι στη διάθεσή μας. Είναι εδώ, παντού γύρω μας και μας καλεί.

68 of 78

Αναζητώντας ... και ...

βρίσκοντας...

69 of 78

Τρίγωνο Πασκάλ

70 of 78

Τρίγωνο

Sierpinski

71 of 78

Σφουγγάρι Menger

72 of 78

Κύβος Rubik

​

Tangram

​

Origami

​

Σκάκι

Sudoku

73 of 78

Πολυόμινα

74 of 78

Τessellations

75 of 78

Tessellations

by Escher

76 of 78

77 of 78

Στον πρώτο του γιο, καθώς είναι πρωτότοκος, θέλει να αφήσει το 1/2 των προβάτων, στον δεύτερο το 1/4 και στον τρίτο και τελευταίο το 1/5.

​

Σε καμία περίπτωση δεν θέλει οι γιοι του να χωρίσουν τα πρόβατα σε κομμάτια, σκοτώνοντάς τα, γιατί αγαπάει τα πρόβατα σαν παιδιά του. Πώς θα μοιράσει το κοπάδι;

Μαθηματικός γρίφος

Ο καπετάν Γιάννης αισθάνεται το τέλος του. Έχει 3 γιους, στους οποίους θέλει και να μοιράσει, όπως αυτός πιστεύει δίκαια, την περιουσία του, που είναι μόνο 19 πρόβατα. 

Μαθηματικοί

γρίφοι

78 of 78

Βασική πηγή

Experiencing mathematical beauty is within your reach

 BBC Science Focus Magazine

By Francis Su,

Published: 27th August, 2020

Αναζητώντας το ωραίο...