Основи математичної статистики

Статистика

Слово “статистика” походить від латинського слова “status”, что означає “стан, розташування явищ”. Від цього кореня виникли слова “stato” (держава),

“statista” (статистик-знаток держави),

“statistica” (статистика — певна сума знань, відомостей про державу, форма практичної діяльності людей).

Статистика – це наука про збирання, обробку та вивчення різноманітних даних, пов’язаних з масовими явищами, процесами і подіями.

Завдання математичної статистики – створення методів збору і обробки статистичних даних для отримання наукових і практичних висновків.

Математичною статистикою – називається розділ математики, в якому вивчаються та досліджуються кількісні характеристики масових явищ.

Статистика

Описова

Пояснювальна

Добір кількісної інформації, цікавої для суспільства

Висновки, прогнози

Складові статистичного методу:

• Масове спостереження;
• Групування даних;
• Обчислення середніх величин;
• Побудова графіків та інше представлення результатів.

Основні поняття математичної статистики:

• Групу об’єктів, поєднаних за якоюсь якісною чи кількісною ознакою, називають статистичною сукупністю.

​

• Сукупність усіх об’єктів, що підлягають дослідженню називають генеральною.

​

• Якщо із генеральної сукупності вибрати тільки деякі елементи випадковим чином, то одержимо вибіркову сукупність, яку називають вибіркою.

​

Вибірка

Випадкова

Механічна

Вибір здійснюється жеребкуванням

Сукупність розбивається на групи і від кожної вибирають представника

Типова

Вибір у певному порядку (наприклад, кожен десятий)

Приклад 1

Для дослідження найпоширенішого розміру чоловічого взуття опитали 20 чоловіків і одержали вибірку:

41;41;40;39;43;41;44;44;45;40;42;41;43;44;45;42;42;40;42;42.

Впорядкуємо її у напрямку зростання і одержимо варіаційний ряд:

39;40;40;40;41;41;41;41;42;42;42;42;42;43;43;44;44;44;45;45.

З даного варіаційного ряду побудуємо частотну таблицю:

Об'єм вибірки n = 20

39

40

41

42

43

44

45

1

39;40;40;40;41;41;41;41;42;42;42;42;42;43;43;44;44;44;45;45.

3

4

5

2

3

2

5%

15%

20%

25%

10%

15%

10%

Центральні тенденції вибірки

Мода (Мо)

Медіана (Ме)

Середні значення

39

40

41

42

43

44

45

1

39;40;40;40;41;41;41;41;42;42;42;42;42;43;43;44;44;44;45;45.

3

4

5

2

3

2

5%

15%

20%

25%

10%

15%

10%

• Мода – це значення варіанти, яка трапляється найчастіше

• Медіана – це середня величина змінюваної ознаки, яка міститься всередині варіаційного ряду (число, яке ділить варіаційний ряд навпіл або середнє арифметичне двох чисел) Ме = 42

Наприклад:

Об'єм вибірки n = 45

16

18

23

25

27

30

33

4

6

5

5

9

11

5

• Розмах вибірки: r = 33 – 16 = 17

Відхилення,

39

40

41

42

43

44

45

1

3

4

5

2

3

2

• Знайдемо середнє арифметичне:

-3,05

-2,05

-1,05

-0,05

0,95

1,95

2,95

• Знайдемо середнє квадратичне відхилення:

• Знайдемо дисперсію:

Наочне подання статистичної інформації

• Для наочного зображення інформації про вибірку у статистиці використовують:

• Стовпчасті діаграми зі з'єднаних прямокутників, які називають гістограмами.

• Якщо з'єднати відрізками середини верхніх основ послідовних прямокутників гістограми, то побудуємо полігон частот.

• Інші види діаграм (кругова, полярна) та графіки.

39

40

41

42

43

44

45

1

3

4

5

2

3

2

• Побудуємо гістограму і полігон частот для нашого прикладу:

39

40

41

42

43

44

45

1

2

3

4

5

Підсумок:

• Які головні завдання математичної статистики?

• Що таке вибірка? Якими способами її можна здійснити?

• Що таке варіаційний ряд і частотна таблиця?

• Які ви знаєте центральні тенденції вибірки і як їх знайти?

• Які ви знаєте наочні способи подання інформації про вибірку?

Абітурієнти на вступному іспиті з математики одержали такі бали:

10, 10,11, 9, 7, 9, 8, 7, 6, 5, 5, 5, 7, 8, 11, 5, 6, 9, 9, 10, 5, 11, 6, 5, 7, 7, 6, 7, 8, 10, 5, 7, 9, 11, 10, 5, 5, 5, 6, 11.

Побудуйте частотну таблицю та знайдіть моду, медіану, об'єм вибірки та відносну частоту. Зобразіть інформацію у вигляді гістограми.