1

01.06.2025

KOMPOZİTLERDE

HOOKE ve

DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI

(ORTOTROPİK BİR TABAKADA GERİLME-ŞEKİL DEĞİŞTİRME HESAPLAMALARI)

6.

(Video 6 .)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

2

01.06.2025

6.1 Bu bölümde amacımız: Ortotropik özellik gösteren kompozit bir levhada, global eksenlerdeki gerilmeleri ve şekil değiştirmeleri hesaplamamızı sağlayan Hooke ve dönüşüm bağıntılarını elde etmektir. İnceleme, düzlem gerilme durumu için yapılacak olup, kompozit tabakanın lokal eksenlere göre mekanik özellikleri (E₁ , E₂ , ν₁₂ , G₁₂ ) biliniyor kabul edilecektir. Konu içinde ayrıca örnekler çözülecektir.

1-2: lokal eksen takımı, x-y: global eksen takımı

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

θ: Fiber yönlendirme açısı,

3

01.06.2025

Ortotropik bir tabaka için 1-2 (lokal) eksenlerine göre gerilmelerle-şekil değiştirmeler arasındaki bağıntılar (yani Hooke bağıntıları) yanda tekrar yazılmıştır. (2nci konuda anlatılmıştı)

veya

6.2 Lokal Koordinatlarda Hooke Bağıntılarını Hatırlayalım:

,

,

,

,

,

,

,

Denklem 2.17 den;

Not: 2nci konuda geçen [C] matrisi burada [Q] ile ifade edilmiştir. [C] = [Q]

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

4

01.06.2025

x-y global eksen takımına göre gerilmeler ile şekil değiştirmeler arasındaki Hooke bağıntıları ise şu şekilde ifade edilebilir:

6.3 Global Koordinatlarda Hooke Bağıntılarının Çıkarılması:

(6.1)

(6.2)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

Püf Noktası 4:Hooke bağıntıları x-y global eksenlere göre aranmasına rağmen, malzeme özellikleri 1-2 lokal eksenlere göre bilinmektedir.

5

01.06.2025

Gerinme (Şekil Değiştirme)

Dönüşüm Bağıntıları:

Gerilme Dönüşüm Bağıntıları:

Şimdi amacımıza ulaşmak için hesaplarımıza devam ediyoruz:

( Bu denklemler statik dengeden elde edilmektedir ve malzeme özelliklerine bağlı değildir. Tüm malzeme tipleri için geçerlidir. Mukavemet dersinde gösterilmektedir.)

(6.3a-c)

(6.4a-c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

Ortotropik bir tabaka için:

6

01.06.2025

Bu durumda 6.3 denklemleriden gerilme dönüşüm bağıntıları 1-2 yönleri için yazılırsa:

Şimdi bu denklemleri matris formatında yazacağız:

6.5 denklemlerini matris formatinda artık şu şekilde yazabiliriz:

(6.5a-c)

(6.6)

(6.7)

Bir [T] dönüşüm matrisi tanımlarız:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

olmak üzere:

7

01.06.2025

Veya;

(6.8)

(6.9)

Benzer şekilde gerinme dönüşüm bağıntıları aynı formatta yazılabilir.

(6.10a-c)

(6.11)

(6.12)

veya;

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

8

01.06.2025

Denklem 6.11’den

,

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

Denklem 6.8 i tekrar ele alırsak;

İndirgenmiş Rijitlik Matrisi:

9

01.06.2025

Bir önceki sayfadaki çoklu matris çarpımı işlemi yapıldığında

indirgenmiş rijitlik matrisi ve terimleri şu şekilde bulunur:

(6.13)

(6.14a-f)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

10

01.06.2025

işlemiyle aşağıdaki şekilde elde edilir.

(6.15)

(6.16a-f)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

11

01.06.2025

6.5 ÖZET

Hooke Bağıntıları

Dönüşüm Bağıntıları

Not:

İleride anlatılacak tabakalı kompozitlerin hesaplarında indirgenmiş matrisleri kullanılması kaçınılmazdır.

Lokal Koordinatlarda:

Global Koordinatlarda:

Gerilmeler arasında

Gerinmeler arasında

(6.1)

(6.2)

(6.7)

(6.8)

(6.11)

(6.12)

(2.16a)

(2.16b)

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

12

01.06.2025

Örnek 6.1 45^o lik fiber yönlendirme açısına sahip bir noktasında şekilde gösterilen düzlem gerilme durumu ortaya çıkmıştır. Buna göre global şekil değiştirmeleri (gerinmeleri) hesaplayınız.

Öncelikle lokal gerilmeleri Denk. 6.7 den bulalım:

Denk. 2.16b den lokal gerinmeler:

Denk. 6.12 den global gerinmeler:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

q

13

01.06.2025

Denk. 6.2 den global gerinmeler hesaplanır:

Önce Normal [S] matrisinin terimleri hesaplanır:

,

,

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

Benzer Şekilde:

,

,

14

01.06.2025

Kompozit Malzemeye Ait Mekanik Malzeme Özellikleri

Örnek 6.2

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

15

01.06.2025

Önce Minör Poisson Oranını hesaplayalım :

Gerinim ölçerler’in yerleştirilme yönlerine baktığımızda;

Lokal Gerinmeler

Denk. 5.1b yi hatırlarsak:

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)

16

01.06.2025

Lokal Gerilmeler :

Denk. 2.16a’ dan lokal gerilme değerlerini hesaplayalım:

Denk. 2.7d’ den [Q] matrisinin terimleri:

Global Gerinmeler

Denk. 6.12’ den global gerinmeler:

Denk. 6.8’ den global gerilmeler:

Global Gerilmeler

(İndirgenmiş matrisler kullanlarak)

veya 2.Yol

(Denk. 6.2 ’den )

(Denk. 6.1’den )

İndirgenmiş matrisler sebebiyle 2.Yol daha uzundur.

c: cos50^o, s=sin50^o olmak üzere

Kompozit Malzeme Mekaniği-Ders Notları-Prof.Dr.Mehmet Zor

6. Kompozitlerde Hooke ve Dönüşüm Bağıntıları (Tek Tabakada Gerilme-Şekil Değiştirme Hesaplamaları)