Obtención de las Propiedades Geométricas con AutoCAD

Ing. Pedro Jesús Villanueva Ramírez Arq. Alfredo Flores Pérez

UAM-X Depto. Tecnología y Producción Arquitectura/Diseño Industrial

Autores

Colaborador

DCG. Armando Andrés Suárez Salazar

CONTENIDO

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INTRODUCCIÓN

El espacio edificable juega un gran papel en la definición formal del espacio habitable. De hecho el arquitecto, como profesional o estudiante, debe tener la habilidad y capacidad de diseñar ambos espacios de manera integral y que interactúen entre si. Sí retomamos el concepto manejado por Villagran García sobre el espacio edificable⁽¹⁾, se puede decir, entonces que éste es la estructura que soportará el espacio habitable, esto es, la edificación, por lo que es necesario para llevar a cabo un diseño arquitectónico funcional, estético y resistente⁽²⁾ será necesario considerar la resistencia que presentan los elementos estructurales a los distintos tipos de deformación considerando, para ello, los diversos factores como el material del que esta constituido, la orientación con respecto a los ejes, la forma geométrica de sus perfiles, así como la dirección del plano donde actúan las cargas y el comportamiento individual y general de los sistemas estructurales.

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Dentro de estos factores, en específico, la geometría bidimensional transversal de los perfiles de los elementos estructurales que definen la edificación deben ser diseñados considerando las propiedades geométricas que se relacionan con la masa estructural. A continuación se describen las más importantes que los arquitectos y estudiantes de arquitectura deben conocer y considerar para sus diseños arquitectónicos. Éstas son: Centroide geométrico, Momento de inercia, Radio de giro, Producto de inercia y Modulo de sección.

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La manera más usual de calcular estas propiedades es mediante la aplicación de calculo integral, o mediante ecuaciones ya establecidas (conseguidas del propio calculo integral), sin embargo, estas se elaboran usualmente para formas regulares. Otra manera de obtenerlas es mediante un software CAD como AutoCAD o Rhinoceros. En este caso se explicará el proceso para calcular las propiedades geométricas de área, centroide, momento de inercia, radio de giro y producto de inercia mediante la herramienta computacional AutoCAD.

Al centroide se le puede definir como el centro de gravedad para una forma geométrica bidimensional. La ubicación del centroide geométrico para formas simples, como el cuadrado, rectángulo o un círculo, se puede obtener mediante ecuaciones matemáticas o por medio de tablas que definen las propiedades geométricas de una sección transversal.

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Sus ecuaciones matemáticas para la obtención de su ubicación son:

Centroide geométrico

Sin embargo, la localización del centroide de formas compuestas requiere la aplicación de un procedimiento matemático sencillo que identifica la ubicación media de las pequeñas partículas que componen la forma. La ubicación del centroide se establece normalmente por la intersección de dos ejes ortogonales que pasan a través del centroide. Estos ejes se denominan los ejes centroidales.

Xg: Ordenada con respecto al eje x del centroide del cuerpo geométrico principal

Yg: Ordenada con respecto al eje y del centroide del cuerpo geométrico principal

dx: Distancia en dirección del eje x, a partir de un origen de referencia, al centroide de cada cuerpo geométrico

dy: Distancia en dirección del eje y, a partir de un origen de referencia, al centroide de cada cuerpo geométrico

Ai: Área de cada cuerpo geométrico parcial

Esta propiedad es una de las más importantes sobre todo cuando se trata de dar rigidez a elementos estructurales horizontales y verticales en particular las vigas y columnas. Un ejemplo clásico práctico de ello es la relación base y peralte de una viga rectangular, esto es, cuando la base es de una dimensión mayor al peralte la viga sufrirá mayor flexión, al centro de la misma, que cuando el peralte es mayor a la base, sufriendo una flexión menor; lo que significa que a mayor peralte habrá mayor momento de inercia y por consiguiente mayor rigidez a la flexión y mayor eficiencia estructural. (ver animaciones explicativas). Lo anterior se debe a que el momento de inercia I con respecto al eje horizontal (eje x) crece al multiplicar el área de la sección por el cuadrado de la distancia con respecto al eje de giro, o sea, su peralte d.

Momento de Inercia (Ix, Iy)

Viga cuyo peralte h es menor a la base b, por lo que I_x es pequeña, lo que significa que la flexión es excesiva por la falta de rigidez.

Viga cuyo peralte h es mayor a la base b, por lo que I_x es elevado, lo que significa que la flexion es menor a la mayor rigidez

Para entender el concepto de Momento de Inercia, primero es necesario dejar claro la diferencia entre masa y peso. La masa es la cantidad de materia presente en un objeto (esto es, su inercia), mientras que el peso es la fuerza que empuja al objeto. La masa está relacionada con el peso mediante la segunda ley de Newton:

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W = Mg

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Donde

W = el peso del objeto (fuerza de la gravedad)

M = la masa del objeto

g = la aceleración de la gravedad en la tierra

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El momento de Inercia toma su nombre del concepto de Inercia el cual consiste en la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o en movimiento lineal a menos que una fuerza externa altere dicho estado lineal. Por lo que la inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa.

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De lo anterior deducimos, entonces, que el momento de inercia es masa rotacional. Al contrario que la inercia, el Momento de Inercia (denominado con la letra I) también depende de la distribución de masa en un objeto.

En los casos donde la flexión interviene como la flexión máxima en las vigas o el pandeo lineal en las columnas es importante que los elementos mantengan una rigidez dentro de las normas. Una manera de lograr esto es aumentando el área de la sección, sin embargo se tiene la desventaja que aumente el material y por ende el peso del elemento estructural acarreando también un aumento en el costo, por lo que esta opción no es óptima. Otra solución es a través de la distribución del material con respecto al eje de flexión⁽³⁾. Cuanto más lejos este la masa del centro de giro (flexión), mayor es el momento de inercia logrando una reducción del material, ligereza del elemento y por lo tanto, un ahorro económico, lo que significa una eficiencia estructural.

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Una fórmula análoga a la segunda ley de Newton del movimiento, se puede reescribir para la rotación:

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F = Ma (F = fuerza; M = masa; a = aceleración lineal)

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T = IA (T = torsión; I = momento de inercia; A = aceleración rotacional)

La distribución del material alejándolo del eje de giro lleva a distintas formas de las secciones de los elementos, validas cuando el eje de flexión es único. Para el caso de las columnas se aconseja tener formas con dimensiones lo más parecidas entre si (cercanas al cuadrado) lo que trae como ventaja una rigidez similar en todas las direcciones, para así evitar el fenómeno del pandeo, así como una resistencia homogénea ante fuerzas sísmicas, lo cual una configuración rectangular conllevaría a aumentar el Momento de inercia donde el material este más alejado con respecto a su eje y, por consiguiente, disminuir El momento de inercia en el eje donde se presente menos material. Una manera de compensar esto es orientar las columnas contrarias a la configuración de la planta, como se observa en la siguiente figura.

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I < I < I

El Ix, mayor que su Iy, de la columna, compensa el Ix, menor a su Iy de la planta del piso

Estas ecuaciones, así como cualquier otra, inclusive de formas irregulares se pueden obtener de la expresión matemática:

Donde:

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I = Momento de Inercia con respecto a un eje de giro

dA= Diferencial de área que en realidad es la masa del elemento

y = distancia del área o la masa l al eje de giro

A continuación se muestran algunas ecuaciones que definen el Momento de Inercia Ix y Iy de secciones regulares. Cabe obviar que las secciones huecas presentan mayor Momento de Inercia que las secciones sólidas.

Este concepto explica la medida del alejamiento promedio de la sección resistente del centro de gravedad, esto es, es la distancia desde el eje, medido desde el centro de gravedad, en el cual se puede concentrar toda la masa o área del objeto sin cambiar su momento de inercia. Pero ¿Qué significa esto? En elementos estructurales principalmente verticales es necesario disminuir la relación de esbeltez para, también disminuir el pandeo que se presenta en el plano de menor rigidez (lo que significa que se presenta el Momento de Inercia mínimo). Para lograrlo sin aumentar el área de la sección, lo cual acarrea, como ya lo mencione, más problemas que beneficios, es aumentando el radio de giro lo que significa aumentar el momento de inercia hasta su máximo valor con la consecuencia de alejar la masa lo más posible del eje de giro. Un ejemplo práctico de ello son los perfiles metálicos de ala ancha que, comparándolo con un perfil de ala normal se verá que el mayor cambio se da en el Momento de Inercia con respecto al eje y, que es el que gobierna el pandeo, que con respecto al eje x⁽⁴⁾.

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Sin embargo el aumentar el radio de giro tiene sus desventajas, ya que para lograr esto se aumenta el Momento de Inercia y se disminuye el área mediante la disminución del espesor de la pared y aumento del diámetro del elemento hueco lo que conlleva a una falla de pandeo en la pared del elemento. En un sistema compuesto de varios elementos estructurales es aconsejable combinar elementos esbeltos y más robustos para que en estos últimos se concentre las cargas. De hecho el problema del aumento de radio de giro se presenta en elementos estructurales que cargan demasiado en relación a su longitud⁽⁵⁾

Radio de Giro (rx, ry)

El producto de inercia es una medida del desequilibrio dinámico relacionado específicamente al desplazamiento del eje de giro con respecto a su posición original debido a fuerzas dinámicas que se presentan en el elemento estructural. Aunque es un concepto poco utilizado en arquitectura este cobra importancia en algunos problemas de determinación de los momentos de inercia mínimo y máximo como el solucionar la relación de esbeltez en columnas; en la solución de flexión asimétrica de las vigas y, en general en el estudio de estructuras hiperestáticas. Su expresión matemática esta dada por:

Producto de Inercia (Ixy)

Es importante considerar que si una sección tiene un eje de simetría, dicho eje, junto con el correspondiente perpendicular a él (por ejemplo el eje x y y) forman un sistema de ejes respecto de los cuales el producto de inercia es nulo. En las secciones de viga cuyo momento de inercia es alto como el caso de los perfiles metálicos el producto de inercia es nulo en la mayoría de ellos, excepto en perfiles como del tipo L o Z, ya que esas secciones no tienen un sistema de ejes que coincidan con el centro de gravedad. Entonces, ¿qué importancia tiene el producto de inercia en el análisis geométrico estructural?, la respuesta está en las cubiertas inclinadas las cuales están soportadas por una sucesión de vigas secundarias.

Estas vigas si se diseñan considerando secciones cuyo producto de inercia es nulo cuando el sistema de ejes es ortogonal, perderán eficiencia estructural ya que el eje de giro ha sido desplazado cierto ángulo con respecto a su posición original, esto es, cuando la sección esta inclinada el producto de inercia deja de ser nulo. En este caso lo recomendable será, entonces utilizar secciones que al ser giradas, su producto de inercia se acerca a cero, como el caso de las secciones tipo L o Z.

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A continuación se muestra un ejemplo práctico de ello.

Cuando la viga I esta inclinada su producto de inercia se acrecienta, inclusive más allá del producto de inercia del perfil en Z, lo que significa que pierde eficiencia estructural a la flexión. El simple hecho de modificar el diseño de la cubierta puede alterar la eficiencia estructural de un perfil con características óptimas en la geometría estructural.

El modulo de sección juega un papel importante en la flexión de las vigas. Se relaciona con el momento de inercia y la distancia que hay entre el eje neutro (este se ubica en el centro de gravedad de la sección) y la fibra más alejada de la sección de la viga, siendo entre ellos inversamente proporcionales. Su expresión matemática es:

Modulo de sección (Sx, Sy)

Donde

S= modulo de sección o modulo resistente

I= momento de inercia

C= distancia del eje neutro a la fibra más alejada.

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Su relación con el esfuerzo máximo permisible a la flexión se da por la siguiente expresión:

Donde:

Гmáx=esfuerzo admisible máximo a flexión

Mflex= Momento máximo calculado

S= Modulo de sección o resistente.

Lo que significa que a mayor modulo de sección menor esfuerzo admisible de flexión, en otras palabras, para un esfuerzo admisible máximo se producirá menos flexión sobre la viga. Sin embargo el modulo de sección tiene relación directa con el momento de inercia lo que significa que al aumentar el momento de inercia aumenta el modulo de sección, sin embargo el aumentar el área nos lleva al mismo problema que se ha comentado con anterioridad, el aumento de peso y aumento de costo, a pesar que podría aumentar la capacidad de carga. A continuación se presenta un análisis de lo anterior.

Para un Módulo de Sección S constante, por ejemplo: S=666.66 cm3

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Se presentan las siguientes observaciones:

• Para variar el área de la sección, variarán también las dimensiones de la base (b) y el peralte (h), ya que

donde: I=bh³, y c=h/2, por lo que S=bh²/6 (valido para una sección rectangular).

En la siguiente tabla se muestran los valores:

De lo anterior se concluye que cuando S es constante y varia el área, sí esta aumenta, disminuye I por lo que disminuye la eficiencia estructural. Por el contario, cuando disminuye el área, el I, aumenta, aumentando la eficiencia estructural.

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Respecto al σ máx., la capacidad de carga se mantendrá constante. Lo que significa que al disminuir el peralte h, disminuye I, disminuyendo por lo tanto la Rigidez a la flexión. Si se considera un I alto, la base del elemento disminuiría demasiado presentando el problema de Torsión.

Para un área constante (por ejemplo Área=200cm2):

Analizando el Módulo de sección S, tenemos que:

• Sí el S disminuye, disminuye I por lo que disminuye la estabilidad en el sentido longitudinal.

• Sí aumenta S aumenta I por lo que aumenta la estabilidad en el sentido longitudinal.

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Por lo que respecta a un Mmáx (flexionante)

• A menor S, será necesario un σmáx admisible mayor para absorber el Máximo Momento flexionante

• A mayor S, el Momento máximo. admisible será menor.

Lo que significa que al aumentar S aumentará la también la Rigidez a la flexión, pero con el riesgo que aumente la posibilidad de Torsión al disminuir la base del elemento.

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En estos tres casos de Viga se observa que tanto los momentos de inercia I como los módulos de sección S intercambian sus valores respecto a los ejes X y Y, lo que significa, como ya se explico, qué al aumentar el peralte aumenta el Momento de Inercia y el Módulo de Sección, disminuyendo la deflexión y flexión de la viga respectivamente, aumentando la eficiencia estructural; y por el contrario, al disminuir el peralte, disminuye el Momento de Inercia y el Módulo de Sección, aumentando la deflexión y flexión de la viga respectivamente, disminuyendo la eficiencia estructural.

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Además de los anteriores conceptos, la mayoría del software CAE considera también la Constante de Torsión (Jx, Jy, Jz) que relaciona la magnitud del momento torsor de la sección transversal de un elemento estructural con sus esfuerzos tangenciales.

A continuación se dará un ejemplo de aplicación a través del método análitico tradicional y el método geométrico mediante la herramienta computacional AutoCAD.

Ejercicio

Obtención del área, Centroide, momento de inercia, radio de giro, producto de inercia y , módulo de sección

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1. Obtención del centroide de la sección

a.Trazo de las figuras

b.Obtención del área y su distancia con respecto a la base, de cada figura

c.Obtención del centroide

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área de Fig 1=260 cm2

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área de Fig. 2=103.53 cm2

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área de Fig 3= 155.04 cm2

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Solución analítica

2. Obtención del momento de inercia alrededor del eje Y

El momento de inercia es la medida de la distribución de material alrededor del centro de un objeto. El momento de inercia es menor cuando todo el material está concentrado en el centro … Es mayor cuando el material está distribuido más lejos del centro.

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a. Obtención de las distancias verticales del centro de cada figura al centroide general

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d1=12.161 cm

d2= 3.09 cm

d3= 18.34 cm

b. Aplicación del teorema de Steiner para la obtención del Momento de inercia de cada figura con respecto al eje Y (Ix) y obtención del Ix total

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3. Obtención del radio de giro rx

Se define como la distancia desde el eje de giro a un punto donde, se supone, concentrada toda la masa del cuerpo

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a. Aplicación de la ecuación

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4. Obtención del producto de inercia Ixy

Se define como la suma, cambiada de signo, de los productos obtenidos multiplicando la masa de cada una de las partículas que constituyen el sistema material por sus distancias (con signo) a dichos planos.

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a. Aplicación de la ecuación

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Pxy= Pxy(en) + Axy

Por ser simétrica con respecto al eje vertical Y,

Pxy=0

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5. Obtención del Módulo de sección o Módulo Resistente (Sx)

Se define como la distribución del esfuerzo flexionante de una sección sujeta eta a acciones externas que producen flexión, acorde a las siguientes ecuaciones.

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a. Aplicación de la ecuación

Ix= Momento de inercia con respecto al centro de gravedad

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c= Distancia del eje neutro a la fibra más alejada de la sección analizada, esto es, c= x o c= y

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MISMO EJERCICIO RESOLVIENDOLO CON AUTOCAD

1.Trazo de la sección plana (wireframe)

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PASOS A SEGUIR

a. Trazar los 3 rectángulos y, después, con TRIM, cortar los segmentos mostrados.

b. Unir las polilíneas con la opción Join del comando PEDIT.

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Resolución del Ejercicio con Autocad

1. Trazo de la silueta considerando las medidas. Sí se trazan los 3 rectangulos por separado se tendrá que unir, después con el comando PEDIT y su opción Join.

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2. Trazo de la superficie (región)

Activar el comando REGION, seleccionar la poligonal cerrada (contorno de la sección) y dar entrada.

Activar la opción Realistic del comando VSCURRENT, con el fin de matizar la superficie

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Resolución del Ejercicio con Autocad, continuación

3. Ubicación del origen del plano de trazo (UCS).

Para que los resultados de las propiedades geométricas sean adecuadas a un punto de referencia será necesario modificar el origen del plano de trazo (UCS). En este caso lo moveremos al punto medio del segmento horizontal inferior de lo que era lel rectángulo inferior.

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Activar la opción Origin del comando UCS. Marcar el punto medio del segmento horizontal inferior de lo que era el rectángulo inferior.

Resolución del Ejercicio con Autocad, continuación

4. Obtención de las propiedades geométricas

Los resultados obtenidos dependen de si los objetos designados son regiones y de si las regiones designadas son coplanares con el plano XY del sistema de coordenadas personales o UCS actual o sólidos 3D.

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Activar el comando MASSPROP, seleccionar la regíon y dar entrada para terminar el proceso.

En una ventana aparecerán los resultados correspondientes al : área, perímetro, cuadro delimitador, centro de gravedad (en realidad, centroide), momentos de inercia Ix, Iy, con respecto al eje Z del origen, Productos de inercia Ixx, Iyy, radios de giro rx, ry y los momentos principales de inercia (máximos) con respecto al eje del centroide (son estos valores los que hay que considerar para el análisis de diseño estructural)

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Resolución del Ejercicio con Autocad, continuación

5. Comparación de resultados

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De lo anterior se concluye que todos los valores de las propiedades geométricas geométricas coinciden excepto el radio de giro (rx). Además los valores de Ix, Iy corresponden al origen del UCS actual (punto medio de la base de la sección).

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Los valores obtenidos del método analítico se basan en el centroide, por lo que, para realizar una comparación más viable será necesario obtener las propiedades geométricas con respecto al centroide.

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Resolución del Ejercicio con Autocad, continuación

6. Obtención de las propiedades geométricas con respecto al centroide.

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Es necesario mover el origen del UCS al centroide. Para esto solo basta trazar una línea de la base de la sección con la distancia obtenida del primer análisis del comando MASSPROP

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7. El siguiente paso es activar nuevamente el comando MASSPROP y seleccionar la region que define la sección. Como se observa los valores, tanto el Ix como el rx, corresponden al centroide.

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Resolución del Ejercicio con Autocad, continuación

8. Comparación de resultados, considerando el centroide

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Nota.

El valor del centroide, en este caso no coincidirán ya que este, en AutoCAD, corresponde al origen del UCS

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Resolución del Ejercicio con Autocad, continuación

9. Cálculo analítico del Iy

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REFERENCIAS

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(1) José Villagran García. Teoría de la Arquitectura. UNAM. México DF. 1989. pp. 216.

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(2) Vitrubio. Libro primero, capítulo tercero –Partes de la Arquitectura –.

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(3). Fuller Moore. Comprensión de las Estructuras en la Arquitectura. Ed. Mc Graw Hill.

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(4) Daniel Moisset de Espanés. Intuición y Razonamiento en el Diseño Estructural. Editorial Escala. Colombia. 1992., p. 108.

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(5) Op. Cit. Daniel Moisset de Espanés., p. 109.

BIBLIOGRAFÍA

• Ignacio González Tejeda, ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ARQUITECTÓNICAS, Trillas, 1992, México.

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• W. Fitzgerad Robert. MECÁNICA DE MATERIALES. Alfaomega. Colombia. 2000

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• Meli Piralla. DISEÑO ESTRUCTURAL. Ed. Limusa. 2da. Edición. 2006. México.

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• Andrew Pytel, Ferdinand L. Singer. Resistencia de materiales, introducción a la mecánica de sólidos. Ed. Harla. México DF. 1994.

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• Nayive Jaramillo S. Propiedades geométricas. Notas de curso. Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Escuela Básica. Documento en .pdf.

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