REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

1ºBACHILLERATO

1. Introducción

2. Domino

3. Puntos de corte

4. Simetrías

5. Asíntotas

6. Crecimiento y decrecimiento

7. Concavidad y convexidad

8. Regiones de existencia

9. Representación gráfica

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Funciones polinómicas.

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Funciones racionales.

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Funciones exponenciales y logarítmicas

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Funciones trigonométricas

1. Domino

2. Puntos de corte

3. Simetrías

4. Extremos relativos

5. Crecimiento y decrecimiento

6. Puntos de inflexión y curvatura

7. Regiones de existencia

8. Representación gráfica

El dominio de una función f(x), Dom f o D(f), es el conjunto de todos los valores de la variable independiente (x) para los que se puede obtener una valor de y,

El recorrido de una función f(x), Im f, es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y)

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• LAS FUNCIONES POLINÓMICAS ESTÁN DEFINIDAS EN TODOS LOS NÚMEROS REALES.

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CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

CASO 1: FUNCIONES POLINÓMICAS

• LAS FUNCIONES QUE TIENEN UNA x EN EL DENOMINADOR, NO ESTÁN DEFINIDAS CUANDO EL DENOMINADOR SE ANULA.

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CASO 2: FUNCIONES CON X EN EL DENOMINADOR

• LAS FUNCIONES CON RAÍCES DE INDICE PAR, SÓLO ESTÁN DEFINIDAS PARA NÚMEROS MAYORES O IGUALES A CERO.

CASO 3: FUNCIONES IRRACIONALES

• LAS FUNCIONES SÓLO ESTÁN DEFINIDAS CUANDO EL ARGUMENTO DEL LOGARÍTMO ES POSITIVO.

CASO 4: FUNCIONES LOGARÍTMICAS

• HABRÁ QUE ANALIZAR CADA CASO CON SUS RESTRICCIONES.

CASO 5: COMPOSICIÓN DE LAS ANTERIORES

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CORTE CON EL EJE OX

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CORTE CON EL EJE Y

Una función es simétrica respecto (p.e.) a un eje, si al plegarla sobre dicho eje, se superponen sus ramas

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En una función se distinguen dos tipos de simetrías:

Función simétrica respecto al eje Y, cuando f(x) = f(-x)

A esta función se le llama función par

Función simétrica respecto del origen, cuando -f(x) = f(-x)

A esta función se le llama función impar

f(-x)

Estudia la simetría de las siguientes funciones:

La función es par, simétrica respecto del eje OY.

Estudia la simetría de las siguientes funciones:

La función es impar, simétrica respecto del origen de coordenadas.

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ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Probaremos con valores e “a” que correspondan a puntos que no pertenezcan al dominio de la función

ASÍNTOTAS VERTICALES

ASÍNTOTAS OBLICUAS

ASÍNTOTAS OBLICUAS

FUNCIÓN CRECIENTE

FUNCIÓN DECRECIENTE

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TEOREMA

Dada una función f(x) derivable en el intervalo (a,b) se cumple que:

f(x) es creciente en (a,b)

f(x) es constante en (a,b)

f(x) es decreciente en (a,b)

Cálculo de intervalos de monotonía

• Calculamos f´(x)
• Hallamos los puntos donde se anula la derivada f´(x) = 0
• Comprobamos el signo de f´(x) en los intervalos que hayan generado los puntos encontrados en el apartado anterior.

Determina la monotonía de la función

• Calculamos f´(x)

2. Hallamos los puntos donde se anula la derivada f´(x) = 0

3. Comprobamos el signo de f´(x) en los intervalos que hayan generado los puntos encontrados en el apartado anterior.

Determine la monotonía de la función:

• Calculamos f´(x)

2. Hallamos los puntos donde se anula la derivada f´(x) = 0

3. Comprobamos el signo de f´(x) en los intervalos que hayan generado los puntos encontrados en el apartado anterior.

Calcular el crecimiento y decrecimiento de la siguiente función

Si f´(a) = 0 ⇒ ∃ E.R en x=a.

Si f´´(a) > 0 ⇒ ∃ mínimo relativo en x=a.

Si f´´ (a) < 0 ⇒ ∃ máximo relativo en x=a.

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Halla los extremos relativos de la función:

• Calculamos f´(x)

2. Hallamos los puntos donde se anula la derivada f´(x) = 0

2. Calculamos la segunda derivada f’’(x)

4. Sustituimos los puntos críticos en la segunda derivada para comprobar su signo.

5. Calculamos la coordenada y de los puntos críticos.

Halla los extremos relativos de la función:

CÓNCAVA

CONVEXA

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Analizar la curvatura de la función:

1. Calculamos la segunda derivada

2. Igualamos a 0 f´´(x) y obtenemos las raíces

Posibles puntos de inflexión

3. Dichas raíces establecen las regiones donde estudiamos el signo de f´´(x), teniendo en cuenta que:

Si f ´´(x) >0 CONVEXA

Si f´´(x) <0 CÓNCAVA

Cóncava

Convexa

Convexa

PUNTOS DE INFLEXIÓN

Un posible punto de inflexión lo encontramos cuando la segunda derivada se anula

Calcular la tercera derivada y comprobar que no se anula en dicho punto, habiéndose anulado en la segunda derivada.

PUNTOS DE

INFLEXIÓN

Calcular los puntos de inflexión de la función:

Dividir el eje X en regiones de existencia:

- Puntos de corte

- Asíntotas

Analizar el signo de la función

Si f(x)>0 la función está por encima del eje X

Si f(x)<0 la función está por debajo del eje X

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