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CHAPITRE 2�Électrostatique

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A – Principes fondamentaux

B – Problématique de la haute tension

a. Effet de pointe

b. Facteur de Schwaiger

c. Surface de Rogowski

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A. Principes�fondamentaux

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2. Électrostatique > A. Principes fondamentaux

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Découverte des charges électriques

« Dans cent ans, celui qui prononcera le discours d’éloges d’Ampère constatera, j’en suis convaincu, que les électrons, aujourd’hui à la mode, auront vécu. »

Dr C. O. Mailloux, 1921

Célébration du centenaire

des expériences d’Ampère

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L’existence de particules chargées est établie en 1895 par Jean Perrin (1870-1942) qui montre que le faisceau issu d’une cathode peut être dévié par une aimant et qu’il charge l’écran sur lequel on l’intercepte. Pourtant…

2. Électrostatique > A. Principes fondamentaux

En 1921, les tensions nominales des réseaux électriques atteignent déjà une centaine de kilovolts, mais l’existence de l’électron reste controversée !

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Caractéristiques des charges

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1. Les charges existent sous deux formes : positive et négative. La charge se mesure en coulomb (C).

2. La charge totale d’un corps est un multiple d’une charge élémentaire : e = 1,6 ⋅ 10-19 C.

3. Dans un système isolé, la charge totale est conservée.

4. Les charges de même signe se repoussent ; les charges de signes opposés s’attirent.

(Les courants de même sens s’attirent ; les courants de sens contraire se repoussent.)

2. Électrostatique > A. Principes fondamentaux

En pratique, dans le domaine de l’électrotechnique, les charges négatives sont des électrons (légers) et les charges positives sont des ions (beaucoup plus lourds).

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Interprétation des forces

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1. Les charges rayonnent des champs.

2. Les champs exercent des forces sur les charges.

Charges au repos

  • densité de charge électrique : ρ (volumique) [C/m3]

σ (superficielle) [C/m2]

λ (linéique) [C/m]

Charges en mouvement = courants

  • densité de courant : J (volumique) [A/m2]

Js (superficielle) [A/m]

Grandeurs physiques

2. Électrostatique > A. Principes fondamentaux

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Grandeurs physiques

Champs dans le vide

  • champ électrique E, engendré par les charges [V/m]
  • champ magnétique H, engendré par les courants [A/m]

Dans la matière

  • polarisation P [C/m2]
  • déplacement électrique D [C/m2]
  • aimantation M [A/m]
  • densité de flux magnétique B [T]

Constantes

μo = 1,2566370614….10-6 ≅ 4π ⋅ 10-7 [Vs/Am]

εo = 8,854187817….10-12 ≅ (1/36π) ⋅ 10-9 [As/Vm]

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2. Électrostatique > A. Principes fondamentaux

}

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}

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Relations constitutives

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Dans les milieux linéaires

  • la polarisation P est proportionnelle au champ électrique :

⇒ (ε = permittivité électrique absolue)

  • l’aimantation M est proportionnelle au champ magnétique :

⇒ (μ = perméabilité magnétique absolue)

  • la densité de courant est proportionnelle au champ électrique :

⇒ (σ = conductivité électrique)

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2. Électrostatique > A. Principes fondamentaux

[4]

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Équations de Maxwell

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Conservation de la charge

Relations de continuité

2. Électrostatique > A. Principes fondamentaux

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Forme globale des équations de Maxwell

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dA = élément de surface ; dl = élément de longueur

2. Électrostatique > A. Principes fondamentaux

Équation de Faraday

Équation d’Ampère

Équation de Gauss

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Potentiel électrique

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2. Électrostatique > A. Principes fondamentaux

Le potentiel est défini à une constante près. En électrostatique théorique, on le prend en général égal à 0 à l’infini. En pratique, on a souvent un conducteur mis à la terre qui défini le 0 du potentiel.

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Lorsque les champs sont statiques, le champ électrique dérive d’un potentiel scalaire, V :

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Sans charges d’espace : (Laplace)

Avec charges dans un milieu homogène : (Poisson)

Δ = opérateur laplacien = div grad

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Lignes de champ et équipotentielles

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On peut démontrer les propriétés suivantes :

  1. Les lignes de champ sont perpendiculaires aux équipotentielles.
  2. La surface d’un conducteur (parfait) est une équipotentielle.
  3. Méthode des images : en présence de charges, un objet conducteur au potentiel V peut être remplacé par des charges fictives qui, avec les charges réellement présentes, produisent le potentiel V sur l’ensemble des points où se trouvait l’objet .
  4. Corollaire : La configuration d’un champ électrique n’est pas modifiée, si l’on remplace les charges qui l’engendrent par un conducteur ayant la forme d’une équipotentielle, et porté au potentiel correspondant.

2. Électrostatique > A. Principes fondamentaux

Définition : Une équipotentielle est ligne ou une surface sur laquelle le potentiel est constant.

Une ligne de champ est une ligne tangente en tout point au vecteur champ (électrique).

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B. Problématique�de la haute tension

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2. Électrostatique > B. Problématique de la haute tension

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Systèmes sous haute tension

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En haute tension, les problèmes pratiques se posent comme suit :

  • Étant donné une configuration de corps isolants et de corps conducteurs, en quel point du système le champ électrique est-il maximal ?
  • Quelle est cette valeur maximale du champ électrique, pour des potentiels électriques donnés ?
  • Pour quelles valeurs des potentiels le champ électrique maximal atteint-il un seuil de claquage ?
  • Comment modifier la géométrie du système et la nature des matériaux isolants, pour pouvoir abaisser ou augmenter les potentiels utiles ?

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2. Électrostatique > B. Problématique de la haute tension

Le but de l’étude peut être :

  • de pouvoir appliquer à l’objet un potentiel aussi élevé que possible.
  • obtenir un claquage avec le minimum de potentiel.
  • optimiser le coût de production de l’objet.

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Exemple pratique : l’isolateur

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2. Électrostatique > B. Problématique de la haute tension

Les problèmes électrostatiques sont souvent posés en termes de distribution de charges. Mais dans la pratique, on dispose de générateurs qui permettent de contrôler le potentiel.

On ne contrôle ni la quantité de charges ni la manière dont elles se répartissent

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Effet de pointe

Champ électrique autour d’une sphère conductrice de rayon R, portée à un potentiel U :

⇒ Le champ à la surface de la sphère est inversement proportionnel à son rayon ⇒ Effet de pointe

Champ électrique autour d’un ellipsoïde conducteur d’axes a et b, porté à un potentiel U :

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⇒ À la surface de l’ellipsoïde, les champs parallèles aux axes�sont proportionnels à la longueur des axes�⇒ Effet de pointe

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2. Électrostatique > B. Problématique de la haute tension > a. Effet de pointe

[5]

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Facteur de Schwaiger : champ uniforme

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Condensateur plan infini

Dans un condensateur plan infini, le champ électrique est uniforme.

Par définition, le facteur de Schwaiger η = 1

Du point de vue du champ électrique maximal, la géométrie d’un intervalle isolant peut être caractérisé en première approximation�par un nombre : le facteur de Schwaiger

2. Électrostatique > B. Problématique de la haute tension > b. Facteur de Schwaiger

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Facteur de Schwaiger : champ non uniforme

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Dans un intervalle isolant, compris entre deux électrodes réelles, le champ n’est pas uniforme: il atteint un maximum en un certain point.

2. Électrostatique > B. Problématique de la haute tension > b. Facteur de Schwaiger

[6]

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Le facteur de Schwaiger η d’un tel intervalle est défini par:

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Uniformité du champ

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Dans certaines applications, on doit disposer d’un champ électrique qui remplisse les deux conditions suivantes :

  • Être aussi uniforme que possible dans une certaine zone;
  • Décroître à l’extérieur de la zone d’uniformité, afin que la valeur uniforme ne soit dépassée nulle part.

Ces conditions sont particulièrement critiques :

  • Dans les tests de rigidité diélectrique.
  • Dans les tubes à décharge des lasers à gaz.

2. Électrostatique > B. Problématique de la haute tension > c. Surface de Rogowski

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On peut essayer d’obtenir le résultat voulu en repliant les bords des électrodes selon un certain profil.

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Condensateur plan semi-infini

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Transformations conformes

Maxwell a montré qu’il existe une transformation conforme transformant un condensateur�plan semi-infini, dans le plan Oxy� en un condensateur plan infini�dans le plan Ouv :

2. Électrostatique > B. Problématique de la haute tension > c. Surface de Rogowski

Équipotentielles et lignes de champ dans un condensateur plan de dimensions finies.

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Électrodes de Rogowski

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2. Électrostatique > B. Problématique de la haute tension > c. Surface de Rogowski

Les électrodes de Rogowski suivent le profil des équipotentielles correspondant à v = ± π/2, qui assure la meilleure uniformité possible du champ, sans jamais dépasser la valeur du champ au centre des électrodes.

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