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ランダム行列模型に関連する�確率過程とヤング図

中央大学大学院理工学研究科物理学専攻�博士前期課程2年 香取研究室�田中雄也

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2025年2月26日

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目次

1. ランダム行列の固有値と相関関数

Gaussian Unitary EnsembleとWignerの半円則

行列式構造と相関関数

Ginibre Ensembleと円則

2. ランダム行列と確率過程

Dysonのブラウン運動模型

ランダム行列と連続の方程式

楕円Ginibre過程

3. ランダム行列とヤング図

ヤング図

エルミート多項式のロンスキアンとヤング図

ランダム分割

4. まとめ

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目次

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1. ランダム行列の固有値と相関関数

Gaussian Unitary EnsembleとWignerの半円則

行列式構造と相関関数

Ginibre Ensembleと円則

2. ランダム行列と確率過程

Dysonのブラウン運動模型

ランダム行列と連続の方程式

楕円Ginibre過程

3. ランダム行列とヤング図

ヤング図

エルミート多項式のロンスキアンとヤング図

ランダム分割

4. まとめ

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Gaussian Unitary EnsembleとWignerの半円則

 

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“乱数を成分とする行列”[K21]

ランダム行列

[K21] 木村太郎, 2021, ランダム行列の数理

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Gaussian Unitary EnsembleとWignerの半円則

 

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Gaussian Unitary EnsembleとWignerの半円則

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確率分布関数の固有値表示

 

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Gaussian Unitary EnsembleとWignerの半円則

 

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有効作用

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Gaussian Unitary EnsembleとWignerの半円則

 

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Gaussian Unitary EnsembleとWignerの半円則

 

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固有値分布のヒストグラムとWignerの半円則

Wignerの半円則

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行列式構造と相関関数

 

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行列式構造と相関関数

 

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Ginibre Ensembleと円則

 

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Ginibre Ensembleと円則

相似変換を行う事で以下を得る.

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確率分布関数の固有値表示

 

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Ginibre Ensembleと円則

 

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目次

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1. ランダム行列の固有値と相関関数

Gaussian Unitary EnsembleとWignerの半円則

行列式構造と相関関数

Ginibre Ensembleと円則

2. ランダム行列と確率過程

Dysonのブラウン運動模型

ランダム行列と連続の方程式

楕円Ginibre過程

3. ランダム行列とヤング図

ヤング図

エルミート多項式のロンスキアンとヤング図

ランダム分割

4. まとめ

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Dysonのブラウン運動模型

 

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Dysonのブラウン運動模型

 

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Fokker-Planck方程式

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Dysonのブラウン運動模型

 

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ランダム行列と連続の方程式

 

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ランダム行列と連続の方程式

 

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[BGNTW15]Z. Burda, J. Grela, M.A. Nowak, W. Tarnowski, P. Warchol, 2015

 

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ランダム行列と連続の方程式

 

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楕円Ginibre過程

 

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[Y20]S. Yabuoku, 2020

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楕円Ginibre過程

 

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楕円Ginibre過程

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目次

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1. ランダム行列の固有値と相関関数

Gaussian Unitary EnsembleとWignerの半円則

行列式構造と相関関数

Ginibre Ensembleと円則

2. ランダム行列と確率過程

Dysonのブラウン運動模型

ランダム行列と連続の方程式

楕円Ginibre過程

3. ランダム行列とヤング図

ヤング図

エルミート多項式のロンスキアンとヤング図

ランダム分割

4. まとめ

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ヤング図

 

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ヤング図

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ヤング図

Ferrers diagram

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ヤング図

Young diagram （ヤング図）

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ヤング図

 

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エルミート多項式のロンスキアンとヤング図

 

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[FHV]G. Felder, A. D. Hemery, A. P. Veselov, 2012

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エルミート多項式のロンスキアンとヤング図

このとき, ロンスキアンの零点とヤング図の行の間に定性的な関係がみられる.

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エルミート多項式のロンスキアンとヤング図

 

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エルミート多項式のロンスキアンとヤング図

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[FHV]

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エルミート多項式のロンスキアンとヤング図

 

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エルミート多項式のロンスキアンとヤング図

 

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ランダム分割

 

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ランダム分割

 

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まとめ

まとめ

　・ランダム行列と確率過程の関係をまとめた

　　→ランダム行列から得られる固有値の振る舞いを示した.

　　→固有値の振る舞いと固有ベクトルoverlapの関係を示した.

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　・ランダム行列とヤング図の関係をまとめた

　　→ロンスキアンの零点とヤング図、ランダム行列の関係を紹介した.

　　→ランダム行列とランダム分割の類似性を紹介した.

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