Diagramme de BODE des filtres du premier et second ordre
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On admet le Théorème de Fourier : toute fonction périodique peut être décomposable en une série de fonctions sinusoïdales.
C’est pour cela qu’on s’intéresse aux signaux sinusoïdaux appliqués aux systèmes linéaires.
Soit D un quadripôle constitué par un système linéaire possédant une entrée ve et une sortie vs :
Puisque on s’interesse aux signaux sinusoidaux , alors on pose :
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avec H =Vs/Ve le module de la fonction de transfert et ϕ = ϕs − ϕe son argument(le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée).
On appelle fonction de transfert :
Déterminer la fonction de transfert pour les circuits suivants :
RC, CR, RLC, RCL et LCR
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Rappelons que en notation complexe multiplier par (jω)n c’est d dériver n fois par rapport au temps et diviser par (jω)n c’est intégrer n fois par rapport au temps.
Prenons l’exemple du circuit RC:
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En électronique , on couvre en général une large plage de fréquences,la représentation linéaire est peu pratique et peu utilisé.
• Diagramme de Bode : c’est une représentation en échelle logarithmique en abscisse.
• On définit le gain G en décibels par :
On rappelle que H est sans dimension.
Le diagramme de Bode est le tracé de deux courbes:
Gdb = f(log(ω)) : diagramme de Bode pour H en décibel
φ = g(log(ω)) : diagramme de Bode pour la phase
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Remarques :
On trace, en général, un diagramme de Bode sur un papier semi-logarithmique (avec une echelle logarithmique).
On appelle décade l’intervalle des pulsations [ω1,ω2] tel que ω2 = 10.ω1
On appel forme de Bode, toute fonction de transfert qui peut se mettre sous la forme
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Un filtre est un système linéaire qui transmet (le plus parfaitement possible ) certaines fréquences et atténue (le plus possible ) les autres.
Il est caractérisé par sa bande passante [ωc1, ωc2] ou Δω = ωc2−ωc1 avec ωc1 et ωc2 les pulsations de coupure.
On définit la bande passante à -3dB par:
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Remarque
On pose
La forme canonique du filtre passe-bas d’ordre 1 est :
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exemple :
considérons le circuit (RC) suivant :
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Donc :
Diagramme de Bode pour le gain :
On a
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Comportement asymptotique :
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Remarque
Le filtre passe bas d’ordre 1 joue le rôle d’intégrateur en hautes fréquences
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Diagramme de Bode pour la phase :
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Filtre passe-haut du premier ordre
La forme canonique du filtre passe haut d’ordre 1 est :
Exemple :
considérons le circuit (CR) suivant :
En BF : Zc → +∞ ⇒ vs(t) → 0
En HF : Zc → +0 ⇒ vs(t) → ve(t)
L’expression de la fonction de transfert :
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Diagramme de Bode pour le gain :
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Remarque
Remarque
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Diagramme de Bode pour la phase :
Conclusion : Le déphasage d’un filtre passe haut du premier ordre se déduit de celui du filtre passe bas d’ordre 1 par une translation de π/2
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Filtres du deuxième ordre
L’ordre du filtre est égal à 2 donc le dénominateur D(ω) = D(x) est polynôme d’ordre 2.
Filtre passe-bas
La fonction de transfert d’un filtre passe bas d’ordre 2 est :
avec ω = xωo
exemple
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On conclut que le filtre est passif, passe bas d’ordre 2.
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Diagramme de Bode pour le gain
On a :
Le comportement asymptotique
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Diagramme de Bode pour la phase
On a :
Représentation de la phase pour quelques valeurs de Q
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Filtre passe-haut
La fonction de transfert d’un filtre passe haut d’ordre 2 est de la forme
exemple
En utilisant le diviseur de tension en notation complexe on obtient :
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Diagramme de Bode pour le gain
Comportement asymptotique :
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Représentation graphique du gain pour quelques valeurs de Q
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Diagramme de Bode pour la phase
On a :
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Représentation graphique de la phase pour quelques valeurs de Q
Remarque
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Filtre passe-bande
La fonction de transfert d’un filtre passe-bande d’ordre 2 est :
exemple
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Diagramme de Bode pour le gain
On a
Comportement asymptotique :
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Représentation du diagramme asymptotique