� Γεωμετρική Άλγεβρα � στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη

Εφαρμογή στην επίλυση εξισώσεων

2^ου βαθμού.

Γεωμετρική Άλγεβρα

Στο δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη υπάρχει μια σειρά προτάσεων που στην ουσία αποτελούν γεωμετρικές διατυπώσεις αλγεβρικών τύπων. Τα προς μελέτη μεγέθη είναι πάντοτε ευθύγραμμα τμήματα. Αντί για “το γινόμενο αβ” λέμε “το ορθογώνιο που περιέχεται από τα α και β” και αντί για α² έχουμε “το από του α τετράγωνο”. Πολύ εύστοχα λοιπόν ο Zeuthen κάνει λόγο σχετικά με αυτό για “γεωμετρική άλγεβρα”. Αυτή η γεωμετρική άλγεβρα έχει σαφείς επιρροές από την άλγεβρα των Βαβυλωνίων. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν και αυτοί τους όρους “ορθογώνιο” αντί του χψ και “τετράγωνο” αντί του x²

Γεωμετρική επίλυση εξίσωσης 2^ου βαθμού

Ένα από τα πιο εμβληματικά παραδείγματα γεωμετρικής

επίλυσης εξίσωσης 2ου βαθμού βρίσκεται στην Πρόταση 11

του 2ου Βιβλίου των «Στοιχείων». Πρόκειται για το πρόβλημα

της διαίρεσης ενός τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, το οποίο

οδηγεί στη δημιουργία της «Χρυσής Τομής». 

• Το Πρόβλημα

Ο Ευκλείδης ζητά να χωριστεί ένα ευθύγραμμο

τμήμα  (μήκους α) σε ένα σημείο  , έτσι ώστε το ορθογώνιο που

σχηματίζεται από ολόκληρο το τμήμα (α) και το ένα τμήμα της

(α-χ) , να είναι ίσο με το τετράγωνο του άλλου τμήματος (x²)

​

Το πρόβλημα οδηγεί στην επίλυση της δευτεροβάθμιας εξί

σωσης : α(α-χ) = x^{2 ⬄} x² + αx – α² = 0

​

​

Τα βήματα επίλυσης

Βήμα 1

Δοθέντος του τμήματος ΑΒ = α, κατασκευάζουμε το

τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α.

​

​

​

Βήμα 2

Βρίσκουμε το μέσο Ε της πλευράς ΑΔ.

Ενώνουμε το Ε με το Β. Υπολογίζουμε με

πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΕΑΒ το ΕΒ.

ΕΒ = �

Βήμα 3

• Προεκτείνουμε ΔΑ την προς τα πάνω και με κέντρο το Ε και ακτίνα ΕΒ γράφουμε κύκλο που τέμνει την προέκταση στο σημείο Ζ.

​

Το ΑΖ είναι το ζητούμενο τμήμα με μήκος

Απόδειξη

• Μεταφέρουμε αυτό το μήκος πάνω στο αρχικό τμήμα ΑΒ και βρίσκουμε το σημείο Η.

• Αρχικά αποδεικνύουμε ότι ΑΖ = χ =

ΕΖ – ΕΑ =

​

• Στη συνέχεια ότι (ΑΗΘΖ) = (ΗΒΚΓ)

Αυτό αποδεικνύεται αν παρατηρήσουμε ότι καθένα από τα

Παραπάνω εμβαδά μαζί με το εμβαδόν του ΑΗΚΔ συμπληρώνουν το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ.

Άρα (ΑΗΘΖ) = (ΗΒΚΓ) ⬄ α(α-χ) = x²

​

Αλγεβρική επικύρωση

• Εντοπίσαμε λοιπόν γεωμετρικά την θετική λύση της εξίσωσης x² + αx – α² = 0 που είναι

x =

​

Οι αρχαίοι Έλληνες αναζητούσαν άλλωστε μόνο

τις θετικές ρίζες των εξισώσεων.

Μπορείτε τώρα να επαληθεύσετε αλγεβρικά με

τον τύπο της διακρίνουσας ότι η θετική λύση

της εξίσωσης είναι πράγματι αυτή που

υπολόγισε γεωμετρικά ο Ευκλείδης.