Тема: Системи рівнянь з двома змінними .
Підготовка до НМТ
з математики
Підготувала
вчитель математики ЗОШ №3
Билим Н.В.
Системою рівнянь називається деяка кількість
рівнянь, для яких треба знайти спільні розв’язки.
Розв’язком системи рівнянь з двома змінним
називається пара значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи на правильну рівність.
Розв'язати систему рівнянь – означає знайти всі її розв’язки або встановити, що їх немає.
Системи рівнянь з двома змінними.
Графічний метод
(алгоритм)
Приклад 1:
Приклад 2
Тестові вправи.
1.Якій із систем рівнянь відповідає даний рисунок?
2.Розв'язати систему за допомогою даного рисунка.
2)
3.Яку з наведених систем рівнянь можна розв'язувати за допомогою даного рисунка? Скільки розв'язків має ця система?
4. Розв’яжить систему за рисунком.
Відповіді для самоконтролю:
2. 1) (-2; 5) (2; -3)
2) (-3;2) (3;2) (-2;-3) (2;-3)
3. 1) б, два
2) а, два
1. б
4.
Метод підстановки
(алгоритм)
1. Виразити з будь-якого рівняння системи одну змінну через другу;
2. підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної вираз, отриманий на першому кроці;
3. розв'язати рівняння з однією змінною, отримане на другому кроці;
4. підставити знайдене значення змінної у вираз, отриманий на першому кроці;
5. обчислити значення другої змінної.
Корисні посилання
Приклад 1:
Розв’язати систему рівнянь методом підстановки.
x+3y=5,�xy=2.
1. Виразимо х через у з першого рівняння: x=5-3y;
2. Підставимо отриманий вираз у друге рівняння: (5-3y)y=2;
3. Розв’яжемо отримане рівняння:
5y-3y²=2;
3y²-5y+2=0;
y1=1; y2=2/3
4. Підставимо почергово кожне зі знайдених значень y в формулу: x=5-3y.
Приклад 1:
Розв’язати систему рівнянь методом підстановки.
x+3y=5,�xy=2.
x=5-3y;
2. Підставимо отриманий вираз у друге рівняння
5y-3y²=2;
3y²-5y+2=0;
y1=1; y2=2/3
4. Підставимо почергово кожне зі знайдених значень y в формулу
1. Виразимо х через у з першого рівняння
(5-3y)y=2;
3. Розв’яжемо отримане рівняння
x=5-3y.
Приклад 2:
Відповідь: (1;6)
Приклад 3:
Розв’язати систему рівнянь методом підстановки.
Розв’язати систему рівнянь методом підстановки.
Метод додавання
(алгоритм)
Корисні посилання:
Приклад 1:
Розв'язання системи методом додавання
Приклад 3
Приклад 3
Аналітичні способи
Приклад 1:
Розв'язати систему рівнянь:
Помножимо обидві частини другого рівняння на 2 і додамо почленно рівняння нової системи.
Отже, дана система рівносильна
сукупності таких двох систем:
Розв'язати систему рівнянь:
Розкладемо ліві частини обох рівнянь на множники.
Оскільки (інакше праві частини обох рівнянь дорівнювали б нулю), то поділимо відповідні частини рівняння одна на одну.
Підставимо це значення х у друге рівняння останньої системи
Якщо відношення коефіцієнтів в системі із двох лінійних рівнянь з двома змінними таке, що
Система має безліч розв’язків
Відношення однакові. Висновок: безліч.
Якщо відношення коефіцієнтів в системі із двох лінійних рівнянь з двома змінними таке, що
Система розв’язків не має
Відношення перших дробів однакові, а третє ні. Висновок: рішень не має
Якщо відношення коефіцієнтів в системі із двох лінійних рівнянь з двома змінними таке, що
Система має одне рішення
Відношення різні. Висновок: рішення одне
МЕТОД ЗАМІНИ ЗМІННИХ
(алгоритм)
1.Виразити один вираз через и. а другий через у кожному рівнянні.
2. Виконати заміну в кожному рівнянні. Розв’язати відносно ціх змунних.
3. Виконати обернену заміну. Записати відповідь у вигляді: (х; у).
Корисні посилання
Приклад 1:
Розв’яжіть систему рівнянь методом заміни
1.Нехай
Піднесемо до квадрату, маємо:
Тоді складемо рівняння
система набуває вигляду:
Розв’язавши систему методом підстановки, маємо:
+
+
Повернемося до заміни, маємо:
Алгоритм розв’язання задачі за допомогою
системи двох рівнянь:
1) позначити невідомі величини (шукані або
ті, через які можна виразити шукані величини)
змінними х і у;
2) виділити за умовою задачі дві ситуації;
3) описати ці ситуації за допомогою системи двох
рівнянь - створити математичну модель задачі;
4) розв’язати систему рівнянь;
5) перевірити, чи задовольняють розв’язки
системи умову задачі;
6) записати відповідь.
Розв’язання. Нехай одне число - х, а друге - у, тоді за умовою задачі маємо систему рівнянь:
Відповідь: 15 і 6.
Розв’язання.
1) Нехай х м-довжина ділянки, а у м-її ширина.
х м
у м
2) Оскільки ділянка має прямокутну форму, то її площа
дорівнює добутку довжини на ширину. Складаємо
перше рівняння системи: ху=2400.
Огорожа навколо ділянки-периметр прямокутника.
Складаємо друге рівняння системи: 2х+2у=220.
3) Математичною моделлю даної прикладної задачі є
система: ху=2400
2(х+у)=220.
2(х+у)=220 :2 х+у=110 (110-у)у=2400
110у-у²=2400;
-у²+110у-2400=0;
у²-110у+2400=0-
у1+у2=110 у1=30 х1=110-у1=110-30=80;
у1у2=2400 у2=80 х2=110-у2=110-80=30.
(30;80), (80;30)-розв’язки системи.
5) Умову задачі задовільняє розв’язок (80;30).
6) Відповідь: 80м, 30м.
Тестові вправи.
Тестові вправи.
Тестові вправи.
Перевір себе:
Бажаю успіху на НМТ!