1 of 45

1

Преобразование графиков функции. Применение свойств функций в задачах с параметром в ОГЭ, ЕГЭ.

Михайлова Олеся Владимировна

Учитель математики

МОУ «СОШ № 10 им. В. П. Поляничко г. Магнитогорска»

2025

2 of 45

2

Часть 1.

Задание 11 (Б, 1 балл)

Умение строить графики функций, использовать графики для определения свойств процессов и зависимостей, для решения задач из других учебных предметов и реальной жизни; умение выражать формулами зависимости между величинами.

Часть 2

Задание 22 (В, 2 балла)

Умение строить графики функций, использовать графики для определения свойств процессов и зависимостей, для решения задач из других учебных предметов и реальной жизни; умение выражать формулами зависимости между величинами.

Базовый уровень

Задание 7 (Б, 1 балл)

Умение оперировать понятиями: функция, непрерывная функция, производная, определять значение функции по значению аргумента; описывать по графику поведение и свойства функции

Профильный уровень

Часть 1

Задание 8 (Б, 1 балл)

Умение оперировать понятиями: функция, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, производная функции, первообразная; находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций; находить площади фигур с помощью интеграла

Задание 11 (Б, 1 балл)

Умение выражать формулами зависимости между величинами; использовать свойства и графики функций для решения уравнений

Задание 12 (П, 1 балл)

Умение оперировать понятиями: экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке; умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций

Часть 2

Задание 18 (В, 4 балла)

Умение оперировать понятиями: тождество, тождественное преобразование, уравнение, неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью различных приёмов; решать уравнения, неравенства и системы с параметром; умение выражать формулами зависимости между величинами; использовать свойства и графики функций для решения уравнений, неравенств и задач с параметрами

3 of 45

3

ОГЭ

4 of 45

4

ЕГЭ (Б)

5 of 45

5

ЕГЭ (Б)

6 of 45

6

ЕГЭ (П)

7 of 45

7

ЕГЭ (П)

8 of 45

8

ЕГЭ (П)

9 of 45

9

ЕГЭ (П)

10 of 45

10

ЕГЭ (П)

11 of 45

11

Спецификация

12 of 45

12

Спецификация

13 of 45

13

Спецификация

14 of 45

14

Ошибки ОГЭ 2025

      • неверно найдены точки графика функции, зачастую это координаты вершины параболы и точки разрыва;
      • нет области определения
      • не найдена точка разрыва;
      • не выколота точка разрыва (выколотая точка должна быть показана на графике обязательно!);
      • нет пояснения для построения графика;
      • не указаны все значения параметра в ответе;
      • не точно построены графики (низкая графическая культура обучающихся)

 

15 of 45

15

Критерии оценивания выполнения задания № 22

Основным условием положительной оценки за решение задания является верное построение графика, которое включает в себя масштаб, содержательную таблицу значений или объяснение построения, обозначение выколотой точки в соответствии с ее координатами.

16 of 45

16

Правила оформления 2 части ОГЭ по математике

№ 22 (построение графика функции)

 

17 of 45

17

Тест

18 of 45

18

Функционально‑графический метод

Функционально-графический метод — это способ решения уравнений и неравенств, основанный на анализе свойств функций и их графических иллюстраций.

Суть метода заключается в том, чтобы:

    • представить уравнение или неравенство в виде функций;
    • построить графики этих функций;
    • проанализировать их взаимное расположение;
    • определить точки пересечения или области, удовлетворяющие условию задачи.

19 of 45

19

Функционально‑графический метод

Преимущества метода

  • Наглядность: визуализация помогает понять структуру задачи и поведение функций.
  • Экономия времени: часто быстрее, чем аналитические методы, особенно при сложных функциях.
  • Отсутствие громоздких вычислений: не требуется решать уравнение алгебраически.
  • Анализ количества решений: легко определить, сколько корней имеет уравнение (по числу точек пересечения).
  • Работа с параметрами: удобно исследовать, как изменение параметра влияет на число и расположение корней.

Области применения

  • Решение уравнений и неравенств (в том числе с параметрами).
  • Исследование функций (нахождение нулей, экстремумов, промежутков знакопостоянства).
  • Анализ систем уравнений и неравенств.
  • Задачи на оптимизацию и моделирование реальных процессов.

Ограничения метода

  • Точность: графическое решение даёт приближённые значения, особенно если точки пересечения не попадают в узлы сетки.
  • Сложность построения: для некоторых функций (например, с асимптотами или быстрым осциллированием) построение графика может быть затруднено.
  • Не всегда применимо: для уравнений, где функции сложно визуализировать или их графики не пересекаются в видимой области.

20 of 45

20

Основные типы преобразований

Существует несколько основных типов преобразований, которые необходимо знать для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ. Каждый тип изменяет положение или форму исходного графика функции.

Параллельный

перенос

Сдвиг графика вдоль осей координат.

Отражение

Зеркальное отображение графика относительно осей координат.

Растяжение/Сжатие

Изменение масштаба графика по осям координат.

21 of 45

21

Параллельный перенос вдоль оси Oy

Параллельный перенос вдоль оси Ox

22 of 45

22

Отражение относительно осей координат

23 of 45

23

Отражение относительно осей координат (преобразования с модулем)

24 of 45

24

Растяжение и сжатие вдоль оси Oy

Растяжение и сжатие вдоль оси Ox

25 of 45

25

Часто в задачах ОГЭ встречаются несколько преобразований одновременно.

Важно выполнять их в правильной последовательности.

1

Сдвиги

Сначала выполняются параллельные переносы.

2

Растяжения/Сжатия

Затем применяются изменения масштаба.

3

Отражения

В последнюю очередь — отражения относительно осей координат.

Комбинированные преобразования: общий вид

26 of 45

26

3

  • Базовая функция: y = x.
  • Преобразование в y = |x| (отражение части x<0 относительно оси Y).
  • Сдвиг вниз на 3 единицы: y = |x| - 3.

Тренировочные упражнения

27 of 45

27

28 of 45

28

Тренировочные упражнения

29 of 45

29

Практическое задание

Построить графики функций:

30 of 45

30

Практическое задание

Построить графики функций:

31 of 45

31

Практическое задание

Построить графики функций:

32 of 45

32

Практическое задание

Построить графики функций:

33 of 45

33

Практическое задание

Построить графики функций:

34 of 45

34

35 of 45

35

36 of 45

36

37 of 45

37

38 of 45

38

39 of 45

39

40 of 45

40

41 of 45

41

  1. Сдам ГИА

https://math-ege.sdamgia.ru/

  • Конструктор индивидуальных заданий по математике

https://www.school-pro.ru/constructor/kim/

  • Распечатай и реши (Елена Ширяева)

https://time4math.ru/oge

https://vk.com/time4math_oge

  • РЭШ

https://resh.edu.ru/subject/

  • Маракулин Андрей Юрьевич

https://marakulin.ru/

  • Школа ЕГЭ-тренер Математика (Ольга Себедаш)

https://vk.com/egetrener_math

https://rutube.ru/channel/42211020/

  • Математика в школе

https://vk.com/maths_at_school

  • Геогебра онлайн

https://autgeo.online/

  • Открытый банк заданий ОГЭ | Математика

https://oge.fipi.ru/bank/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0

  • Открытый банк заданий ЕГЭ | Математика. Базовый уровень

https://ege.fipi.ru/bank/index.php?proj=E040A72A1A3DABA14C90C97E0B6EE7DC

  • Открытый банк заданий ЕГЭ | Математика. Профильный уровень

https://ege.fipi.ru/bank/index.php?proj=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B

Полезные сайты

42 of 45

42

Существует множество программ для построения графиков функций, которые различаются по функциональности, сложности использования и стоимости.

43 of 45

43

GeoGebra

Бесплатная кроссплатформенная динамическая математическая программа

для всех уровней образования.

Включает геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику в одном пакете.

https://www.geogebra.org

Для кого подходит

Школьники и студенты — изучение геометрии, алгебры, статистики, подготовка к экзаменам.

Преподаватели — создание интерактивных уроков, демонстрационных материалов, заданий.

Исследователи — моделирование, анализ данных, визуализация математических концепций.

Самостоятельные обучающиеся — освоение математики через интерактивные построения.

Преимущества

Бесплатность — полный доступ к основным функциям без оплаты.

Универсальность — объединение нескольких математических дисциплин в одном пакете.

Интерактивность — динамическое изменение объектов с мгновенным обновлением результатов.

Образовательная направленность — специальные инструменты для учителей и учащихся.

Кросс‑платформенность — работа на разных ОС и устройствах.

Богатая документация — обширная база учебных материалов и примеров.

44 of 45

44

https://www.desmos.com

Геометрия: построение фигур, трансформации, измерение углов. Например, можно создать треугольник и проверить теорему Пифагора. 

Статистика: анализ данных, построение гистограмм, вычисление среднего и медианы. Есть модули по теории вероятностей и законам распределения. 

Интерактивные уроки: через Desmos Classroom учителя создают задания, например, «Marble Slides», где ученики подбирают функцию, чтобы мраморный шарик собрал звёзды на графике. 

Анимация и таблицы: создание анимированных графиков и таблиц ввода-вывода функций. 

Специальные возможности: поддержка для слабовидящих студентов с аудиотрассировкой и брайлевскими дисплеями. 

Desmos

бесплатный графический калькулятор, который позволяет строить графики функций и исследовать их поведение в зависимости от изменения параметров.

Работает в режиме online.

Основные возможности

Построение графиков функций: Desmos поддерживает построение графиков в декартовых, полярных и параметрических координатах. Можно строить графики с параметрами, используя ползунки для динамического изменения значений и наблюдения за эффектами.

Алгебраические операции: решение уравнений и систем уравнений, нахождение производных и интегралов.

45 of 45

45

Advanced Grapher

Мощная программа для построения и анализа графиков функций.

Позволяет работать с до 30 графиками в одном окне.

Имеет инструменты для расчёта производных, первообразных, нахождения точек пересечения графиков, численного интегрирования и других аналитических операций.

Интерфейс доступен на русском языке.

Для некоммерческого использования в России программа бесплатна при выборе русского языка при установке

Некоторые возможности программы:

Построение графиков функций вида Y(x), X(y), в полярных координатах, заданных параметрическими уравнениями, графиков таблиц, неявных функций (уравнений) и неравенств.

Регрессионный анализ.

Нахождение нулей и экстремумов функций, точек пересечения графиков.

Нахождение производных, уравнений касательных и нормалей.

Численное интегрирование.

Большое количество параметров графиков и координатной плоскости.

Возможности печати, сохранения и копирования графиков в виде рисунков.

Многодокументный настраиваемый интерфейс.