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Muy importante. Crecimiento exponencial. Ejemplo

x_t+1 = k x_t

la producción en el momento siguiente es igual al factor de crecimiento por la producción en el momento anterior

Por ejemplo, si cada 30 minutos una bacteria se duplica, si k es 2:��Tiempo número de bacterias�0 minutos 1�30 minutos 2 = 2 · 1�60 minutos 4 = 2 · 2�90 minutos 8 = 2 · 4 �120 minutos 16 = 2 · 8�150 minutos 32 = 2 · 16 �180 minutos 64 = 2 · 32�210 minutos 128 = 2 · 64�240 minutos 256 = 2 · 128�270 minutos 512 = 2 · 256�300 minutos 1024 = 2 · 512�330 minutos 2048 = 2 · 1024

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Crecimiento exponencial. Ejemplo

Nuestras bacterias se duplican cada paso temporal, el factor de crecimiento es 2.
Empezamos en el instante inicial 0 con una población de 1 bacteria.
En el instante siguiente, a los 30 minutos, el número de bacterias será el factor de crecimiento por el número de bacterias que había en el instante anterior; 2 · 1 = 2.
En el instante siguiente al siguiente, a los 60 minutos, el número de bacterias será el factor de crecimiento por el número de bacterias que había en el instante anterior; 2 · 2 = 4.
En el instante a continuación, a los 90 minutos, el número de bacterias será el factor de crecimiento por el número de bacterias que había en el instante anterior; 2 · 4 = 8.
Etc.

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Importante: Crecimiento exponencial

x_t+1 = k x_t

Recordemos que k = 1 + c, donde c es la tasa de crecimiento.

Si k es menor que 1, si la tasa de crecimiento es negativa, entonces decrecimiento exponencial
Si k es igual a 1, si la tasa de crecimiento es 0, entonces estado estacionario
Si k es mayor que 1, si la tasa de crecimiento es positiva, entonces crecimiento exponencial

Puedes modificar k o X0 en las celdas amarillas de la hoja de cálculo haciendo doble clic encima de la misma, para visualizar los diferentes comportamientos según sea k.

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Opcional. Crecimiento exponencial

Deduciremos cómo calcular la producción en cualquier momento, sin necesidad de ir paso por paso. x₀ es la producción en el momento 0, x₁ es la producción en el momento 1, x₂ es la producción en el momento 2, etc.

x₁ = k x₀, la producción en el momento 1 es igual al factor de crecimiento por la producción en el momento 0.�x₂ = k x₁ = k (k x₀) = k² x₀, la producción en el momento 2 es igual al factor de crecimiento al cuadrado por la producción en el momento 0.�x₃ = k x₂ = k (k² x₀) = k³ x₀, la producción en el momento 3 es igual al factor de crecimiento elevado a 3 por la producción en el momento 0.�x₄ = k x₃ = k (k³ x₀) = k⁴ x₀, la producción en el momento 4 es igual al factor de crecimiento elevado a 4 por la producción en el momento 0.�…

Por lo tanto, podemos calcular la producción en un momento t cualquiera x_t como

x_t = k^t x₀

la producción en el momento t es igual al factor de crecimiento elevado a t por la producción en el momento 0

A este comportamiento se le llama crecimiento exponencial porque también puede escribirse con la función exponencial, x_t = e^{a t} x₀, donde�k = e^a.

No es necesario aprender esta ecuación o su significado en palabras

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Crecimiento exponencial.�Fórmula para la duplicación

Si una magnitud tiene una tasa de crecimiento anual del

1% se duplica cada 70 años, se multiplica por 10 cada 231 años, por 100 cada 463 años, y por 1000 cada 694 años.
2% se duplica cada 35 años, se multiplica por 10 cada 116 años, por 100 cada 233 años y por 1000 cada 349 años.
3% se duplica cada 23 años, se multiplica por 10 cada 78 años, por 100 cada 156 años y por 1000 cada 234 años.
4% se duplica cada 18 años, se multiplica por 10 cada 59 años, por 100 cada 117 años y por 1000 cada 176 años.
5% se duplica cada 14 años, se multiplica por 10 cada 47 años, por 100 cada 94 años y por 1000 cada 142 años.
10% se duplica cada 7 años, se multiplica por 10 cada 24 años, por 100 cada 48 años, y por 1000 cada 72 años.
20% se duplica cada 4 años, se multiplica por 10 cada 13 años, por 100 cada 25 años y por 1000 cada 38 años.

Fórmula aproximada (mejor para tasas bajas)�

años para duplicarse ≈ 70 / tasa de crecimiento�

los años para duplicarse son aproximadamente iguales a 70 dividido entre la tasa de crecimiento

Es conveniente aprender esta ecuación o su significado en palabras

Haz doble clic en la hoja de cálculo y escribe la tasa de crecimiento en la celda amarilla para comprobar los años que tarda en multiplicarse.

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Crecimiento exponencial.�Interés compuesto

El interés compuesto es un ejemplo de crecimiento exponencial. Un capital que se invierte a interés compuesto crece de forma exponencial con una tasa de crecimiento igual a la tasa de interés.
Hace unos 2000 años Judas Iscariote vendió a Jesús por 30 monedas de plata, que pesaban en total medio kilogramo.
La Tierra tiene una masa de 5,972E+24 kilos = 5972000000000000000000000 Kg.
(E+24 significa que hay que multiplicar el número de la izquierda por 10²⁴, por un uno seguido de 24 ceros; por ejemplo, E+3 = 10³ = 1000)
Si Judas Iscariote hubiera puesto esas 30 monedas a un modesto tipo de interés del 3%, si su capital creciera con una tasa del 3% anual, tendría hoy una masa de plata casi cuatro veces superior a toda la masa de la Tierra.

Puedes modificar el tipo de interés, o los años, o la cantidad inicial de la hoja de cálculo haciendo doble clic encima de la misma, para visualizar los valores finales correspondientes

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Crecimiento exponencial y límites del entorno

El crecimiento exponencial es el comportamiento que muestran las economías y las poblaciones biológicas si están insertas en un entorno con recursos ilimitados.
Pero ningún entorno tiene recursos ilimitados, todo entorno acaba suponiendo una limitación para el sistema.
Por eso un crecimiento exponencial no puede mantenerse indefinidamente, porque el sistema siempre acaba superando los límites que impone el entorno por pequeña que sea la tasa de crecimiento.�

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Si en un pueblo la población en el año 2000 fue de 30000 personas, y en el año 2001 fue de 30600 personas, aplicando las fórmulas tenemos

Mientras que la tasa de crecimiento se escribe en tantos por ciento, el factor de crecimiento se escribe en número.

La tasa de crecimiento más uno es igual al factor de crecimiento

Si un sistema no crece, si tiene una tasa de crecimiento del 0%, su factor de crecimiento es 1.�0% + 1 = 0/100 + 1 = 0 + 1 = 1.
Si un sistema duplica su tamaño en cada paso temporal, si tiene una tasa de crecimiento del 100%, su factor de crecimiento es 2.�100% + 1 = 100/100 + 1 = 1 + 1 = 2.
Si un sistema triplica su tamaño en cada paso temporal, si tiene una tasa de crecimiento del 200%, su factor de crecimiento es 3.�200% + 1 = 200/100 + 1 = 2 + 1 = 3.
Si un sistema reduce a la mitad su tamaño en cada paso temporal, si tiene una tasa de crecimiento del -50%, su factor de crecimiento es 0.5.�-50% + 1 = -50/100 + 1 = -0.5 + 1 = 0.5.
Si un sistema se reduce a la cuarta parte en cada paso temporal, si tiene una tasa de crecimiento del -75%, su factor de crecimiento es 0.25.�–75% + 1 = -75/100 + 1 = -0.75 + 1 = 0.25.

Haz doble clic en la hoja de cálculo para modificar las celdas amarillas.

Muy importante.

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Comportamiento logístico

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Comportamiento logístico. �Recursos limitados renovables

x_t+1 = k x_t (1 – x_t / P)

la producción en el momento siguiente es igual al factor de crecimiento por la producción en el momento anterior por 1 menos la producción en el momento anterior dividido entre la constante de limitación

x_t+1 producción (o población, u otra magnitud) en el momento siguiente t+1.

k factor de crecimiento, igual a uno más la tasa de crecimiento c. Se supone que k está entre 0 y 4.

x_t producción (o población, u otra magnitud) en el momento t.

P constante de limitación, que determina la producción (o población, u otra magnitud) máxima.

No es necesario memorizar esta ecuación

El comportamiento logístico es el de muchas poblaciones biológicas (animales, vegetales, etc.) si disponen de recursos y eliminación de desperdicios limitados con reposición constante.

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Opcional. Comportamiento logístico. �Detalle de la fórmula

La ecuación puede entenderse mejor si la descomponemos en dos partes:

El término k x_t tiende a producir un crecimiento exponencial.

El término (1 – x_t / P) limita el crecimiento de la producción (o población).

Cuando x_t / P es muy bajo ese término es casi 1 y el sistema crece de forma casi exponencial.
Cuando x_t / P supera 0,2 ese término limita el crecimiento, en mayor medida cuanto mayor sea x_t / P.

Si la constante de limitación P es ∞ no hay limitación y tenemos el comportamiento exponencial.

A menudo la fórmula se escribe de forma simplificada suponiendo que P = 1, y entonces x_t puede interpretarse como una proporción.

x_t+1 = k x_t (1 – x_t / P)

No es necesario memorizar esta ecuación

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Comportamiento logístico. Ejemplo

x_t+1 = k x_t (1 – x_t / P)

Por ejemplo, si 10000 bacterias se duplican cada 30 minutos cuando disponen de recursos ilimitados (si k es 2) pero su crecimiento está restringido por una fuente de alimento limitada pero constante (P es un millón):��Tiempo bacterias�0 minutos 10000�30 minutos 19800 = 2 · 10000 (1 – 10000 / 1000000) �60 minutos 38816 = 2 · 19800 (1 – 19800 / 1000000)�90 minutos 74618 = 2 · 38816 (1 – 38816 / 1000000) �120 minutos 138101 = 2 · 74618 (1 – 74618 / 1000000) �150 minutos 238058 = 2 · 138101 (1 – 138101 / 1000000) �180 minutos 362773 = 2 · 238058 (1 – 238058 / 1000000)�210 minutos 462338 = 2 · 362773 (1 – 362773 / 1000000)�240 minutos 497163 = 2 · 462338 (1 – 462338 / 1000000)�270 minutos 499984 = 2 · 497163 (1 – 497163 / 1000000)�300 minutos 500000 = 2 · 499984 (1 – 499984 / 1000000)�330 minutos 500000 = 2 · 500000 (1 – 500000 / 1000000)�360 minutos 500000 = 2 · 500000 (1 – 500000 / 1000000)�390 minutos 500000 = 2 · 500000 (1 – 500000 / 1000000)

No es necesario memorizar esta ecuación

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Comportamiento logístico. Ejemplo

Nuestras bacterias tienen un factor de crecimiento 2 y una constante de limitación de un millón. El paréntesis que limita el crecimiento es 1 menos la población de bacterias en el instante anterior entre la constante de limitación.
Empezamos en el instante inicial 0 con una población de 10000 bacterias.
En el instante siguiente, a los 30 minutos, el número de bacterias será el factor de crecimiento, 2, por el número de bacterias que había en el instante anterior, 10000, por 1 menos la población de bacterias en el instante anterior entre la constante de limitación, 1 – 10000/1000000, que resulta 2 · 1 · (1 – 10000/1000000) = 19800.
En el instante siguiente al siguiente, a los 60 minutos, el número de bacterias será el factor de crecimiento, 2, por el número de bacterias que había en el instante anterior, 19800, por 1 menos la población de bacterias en el instante anterior entre la constante de limitación, 1 – 19800/1000000, que resulta 2 · 1 · (1 – 19800/1000000) = 38816.
En el instante a continuación, a los 90 minutos, el número de bacterias será el factor de crecimiento, 2, por el número de bacterias que había en el instante anterior, 38816, por 1 menos la población de bacterias en el instante anterior entre la constante de limitación, 1 – 38816/1000000, que resulta 2 · 1 · (1 – 38816/1000000) = 74618.
Etc.

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Comportamiento logístico a largo plazo

Si k es menor o igual a 1 entonces decrecimiento hasta extinción.
Si k es mayor que 1 y menor que 2 entonces crecimiento logístico hasta estado estacionario.
Si k es mayor que 2 y menor que 3 entonces crecimiento logístico con oscilaciones decrecientes hasta estado estacionario.
Si k está entre 3 y 4 pasan cosas muy interesantes (ciclos y caos) que veremos en otro momento; los impacientes pueden consultar Veritasium: This equation will change how you see the world (the logistic map), https://youtu.be/ovJcsL7vyrk?t=27

Puedes modificar k, P y X0 en las celdas amarillas de la hoja de cálculo haciendo doble clic encima de la misma, para visualizar los diferentes comportamientos.

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Opcional. Comportamiento logístico a largo plazo: capacidad de carga

La capacidad de carga es el nivel de la producción una vez alcanzado el estado estacionario, que resulta

Q = P (1 – 1 / k)

La capacidad de carga es igual a la constante de limitación por uno menos uno dividido entre el factor de crecimiento

Q capacidad de carga, producción (o población, u otra magnitud) en el estado estacionario.

k factor de crecimiento, igual a uno más la tasa de crecimiento c.

P constante de limitación.

La capacidad de carga no depende de la población inicial. El estado estacionario a largo plazo del comportamiento logístico está determinado sólo por k y P.

La capacidad de carga crece con la constante de limitación de forma proporcional (si la constante de limitación se multiplica por cinco también se multiplicará por cinco la capacidad de carga).

La capacidad de carga crece también con el factor de crecimiento, aunque no de forma proporcional.

Puedes modificar k y P en las celdas amarillas de la hoja de cálculo haciendo doble clic encima de la misma, para calcular la capacidad de carga correspondiente.

No es necesario memorizar esta ecuación

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Comportamiento logístico y �límites del entorno

El comportamiento logístico es uno de los que pueden mostrar las economías y las poblaciones biológicas si están insertos en un entorno con recursos limitados pero con reposición constante.
(Otros comportamientos posibles son ciclos, u oscilaciones caóticas, que también pueden modelizarse con la fórmula que hemos visto, con la ecuación logística, pero que veremos más adelante).
Hasta cierto punto, puede suponerse que el planeta Tierra es un entorno así para muchos sistemas. El Sol es una fuente de luz (energía concentrada) y el espacio es un sumidero de calor (energía dispersa).
El estado estacionario en el que desemboca el comportamiento logístico puede mantenerse en el tiempo si en el entorno se mantienen las fuentes de energía concentrada y los sumideros de energía dispersa.�

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Otros comportamientos

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Opcional. Recursos limitados no renovables. Extinción

x_t+1 = k x_t (1 – x_t / P_t)

P_t+1 = P_t – x_t

la producción en el momento siguiente es igual al factor de crecimiento por la producción en el momento anterior por 1 menos la producción en el momento anterior dividido entre la limitación de los recursos en el momento anterior

la limitación de los recursos en el momento siguientes es igual a la limitación de los recursos en el momento anterior menos la producción en el momento anterior

�La extinción es el comportamiento si los recursos no son renovables y el sistema los va consumiendo. �Por eso P_t va disminuyendo, porque van consumiéndose los recursos.

Puedes modificar k, P y X0 en las celdas amarillas de la hoja de cálculo haciendo doble clic encima de la misma, para visualizar los diferentes comportamientos.

No es necesario memorizar estas ecuaciones

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Opcional. Los límites del crecimiento

Algunos autores han dado una visión dramática de los límites al crecimiento. Pero, como los clásicos, suelen subestimar la innovación tecnológica, e incluso la capacidad de adaptación del capitalismo y de las sociedades humanas.

Jevons, https://es.wikipedia.org/wiki/The_Coal_Question�

Herman Daly, https://base.socioeco.org/docs/una_economia_de_estado_estacionario_h._daly.pdf�

Club de Roma, Los límites del crecimiento, 1972,

https://www.clubofrome.org/publication/the-limits-to-growth/

Computer predicts the end of civilisation

https://www.youtube.com/watch?v=cCxPOqwCr1I

Limits to Growth, The 30-Year Update: https://www.peakoilindia.org/wp-content/uploads/2013/10/Limits-to-Growth-updated.pdf

Los límites del crecimiento y el colapso - Dennis Meadows

https://www.youtube.com/watch?v=mBSO_qFrMM8

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Principales comportamientos teóricos

Solo hay que memorizar la fórmula del crecimiento exponencial.

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Comportamientos con varias variables

Estado estacionario: las variables no cambian en el tiempo.
Crecimiento proporcional: las variables crecen (o decrecen) en el tiempo.
Ciclo estacionario: las variables evolucionan cíclicamente en el tiempo.
Crecimiento cíclico: las variables crecen (o decrecen) cíclicamente en el tiempo.

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Condiciones para el crecimiento

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La dinámica magna de los clásicos

Los economistas clásicos estudiaban el destino de la Humanidad a largo plazo.
El crecimiento económico estaba acompañado por el crecimiento de la población.
Pero la cantidad de tierra disponible estaba limitada, como también lo estaban las minas y otros recursos.
El crecimiento económico conllevaba el recurrir a tierras, minas, etc. menos eficientes.
Como consecuencia, el crecimiento económico tendía a disminuir.
Por eso en los capitalismos el comportamiento tenía que ser de tipo logístico (dicho en términos modernos), y a largo plazo desembocar en un estado estacionario.

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Capitalismo, avance técnico y crecimiento.�La dinámica magna de los clásicos

Los clásicos tenían razón al señalar que el capitalismo, como cualquier sistema real, estaba sujeto a las limitaciones que le impone el entorno. Por ello no puede crecer exponencialmente a largo plazo.
Pero el capitalismo ha mantenido un crecimiento parecido al exponencial desde la época de los clásicos, no alcanzando el estado estacionario.
Los clásicos razonaban bajo el supuesto de tecnología constante.
El capitalismo ha modificado el planteamiento del problema con el desarrollo continuo de la tecnología:

La continua revolución tecnológica ha aumentado de forma regular la capacidad de carga (el nivel del estado estacionario final)

Descubriendo nuevas materias primas, o esquivando algunas limitaciones a la hora de eliminar desechos (avance “extensivo”)

Fuentes de “energía”: petróleo, uranio
Nuevos materiales
Clorofluorocarbonados y agujero de ozono
CO₂ y cambio climático

Desarrollando metabolismos internos más eficientes (avance “intensivo”)

Mejora sustancial en los procesos industriales (aluminio)
Mejora en el proceso de obtención de información y cálculo

Podemos entender el crecimiento del capitalismo como una sucesión de comportamientos �logísticos con capacidad de carga creciente, a través de la revolución tecnológica.
La base del crecimiento económico es pues el avance tecnológico. Sin él el capitalismo�acabaría en un estado estacionario, como ocurría en la antigua Roma.

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Opcional. Avance tecnológico “intensivo” y “extensivo”

x_t+1 = k x_t (1 – x_t / P)

El avance tecnológico “extensivo” permite incrementar la capacidad de carga (el estado estacionario final de los clásicos) pero sin mejoras tecnológicas internas en los procesos de producción, permitiendo el acceso a recursos antes no disponibles. Lo hemos modelizado incrementando la limitación P (como hacemos en la hoja adjunta, suponiendo que crece exponencialmente).

Por ejemplo el descubrimiento de nuevos pozos de petróleo.
En una población de vacas un aumento al doble de la superficie de los pastos supone un crecimiento “extensivo”; lo podemos modelizar multiplicando P en la fórmula logística por 2.

El avance tecnológico “intensivo” resulta de los avances tecnológicos en los procesos de producción, mejorando su eficiencia. Hubiéramos podido modelizarlo con el aumentando el factor de crecimiento k

Por ejemplo una mejora en velocidad de extracción en los pozos de petróleo.
Introducir vacas que se reproducen más rápidamente supone un crecimiento “intensivo”; lo podemos modelizar aumentando k.

A menudo los avances son una mezcla de ambas categorías, la diferencia entre ambas no es exclusiva.

El fracking es una nueva tecnología que permite extraer más de los viejos pozos, pero también permite la explotación de pozos que antes no eran accesibles. Supone pues una mejora “intensiva” y “extensiva” simultáneamente.

Como vemos el sistema crece exponencialmente hasta que choca con la limitación de los recursos. Como hemos supuesto que esta limitación también crece, el sistema se ajusta a la misma.

Puedes modificar el nivel de producción inicial y el impacto de la variación del factor de crecimiento “intensivo” y la limitación “extensiva” en las celdas amarillas de la hoja de cálculo, haciendo doble clic encima de la misma.

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Condiciones para el crecimiento

El crecimiento de un sistema, económico o biológico, requiere que el entorno provea de los materiales y de las energías necesarias.
Con tecnología (cultural o genética) constante el crecimiento tiene que acabar chocando con los límites que impone el entorno, por pequeña que sea la tasa de crecimiento.
Pero si los recursos son limitados y renovables el sistema puede mantenerse en un estado estacionario (o en ciclos o caos) a largo plazo.
Para que un sistema supere el estado estacionario y crezca es necesario una innovación tecnológica (cultural o genética), que permita o bien el acceso a recursos del entorno antes no usados (avance “extensivo”) o bien una mejora en los procesos de producción internos (avance “intensivo”).