الهندسة الإحداثية ( التحليلية )
احداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيمة
البعد بين نقطتين في المستوى
احداثيا نقطة تقسيم قطعة مستقيمة
النقاط في المستوى
ميل الخط المستقيم
المستقيم
معادلة الخط المستقيم
البعد بين نقطة و مستقيم
معادلة الدائرة
الدائرة
موضع نقطة بالنسبة لدائرة
علاقة مستقيم بدائرة
! أضغط اسم الموضوع للانتقال للمحتوى
علاقة دائرة بدائرة
البعد بين نقطتين في المستوى
البعد بين النقطة A ( x1 , y1 ) و النقطة B ( x2 , y2 ) في المستوى الاحداثي
يعطى بالعلاقة :
AB = ( x2 – x1)2 + ( y2 - y1)2
و يمكن استنتاج هذه العلاقة كما يلي:
البعد بين نقطتين في المستوى
(C
(B (x2, y2)
y1
x2
y2
x1
(A (x1, y1)
x
y
البعد بين نقطتين في المستوى
(C
(B (x2, y2)
y1
x2
y2
x1
(A (x1, y1)
y2 – y1
x2 – x1
x
y
البعد بين نقطتين في المستوى
(C
(B (x2, y2)
(A (x1, y1)
y2 – y1
x2 – x1
x
y
(AB)2 = (AB)2+(AC)2
(AB)2=( x2 – x1)2 + ( y2 - y1)2
AB = ( x2 – x1)2 + ( y2 - y1)2
البعد بين نقطتين في المستوى
(C
(B (x2, y2)
(A (x1, y1)
y2 – y1
x2 – x1
x
y
(AB)2= ( x2 – x1)2 + ( y2 – y1)2
AB = ( x2 – x1)2 + ( y2 - y1)2
ملاحظات هامة:
* يمكن استخدام قانون البعد بين نقطتين لإثبات أن ثلاث نقاط تمثل روؤس مثلث و تحديد
نوع المثلث بالنسبة لقياسات زواياه:
في المثلث ABC
(AC) 2 > (AB) 2 +(BC) 2 المثلث منفرج الزاوية في B
(AC) 2 = (AB) 2 +(BC) 2 المثلث قائم الزاوية في B
(AC) 2 < (AB) 2 +(BC) 2 المثلث حاد الزاويا
* البعد بين النقطتين A , B = البعد بين النقطتين B , A
* البعد بين نقطتين في المستوى الاحداثي = مربع فرق السينات + مربع فرق الصادات
* يمكن استخدام قانون البعد بين نقطتين لإثبات أن ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة
للمناقشة:
* كيف يمكننا استخدام قانون البعد لإثبات أن شكل رباعي متوازي أضلاع ؟
* كيف يمكننا استخدام قانون البعد لإثبات أن شكل رباعي معين ؟
* كيف يمكننا استخدام قانون البعد لإثبات أن شكل رباعي مستطيل ؟
* كيف يمكننا استخدام قانون البعد لإثبات أن شكل رباعي مربع ؟
مثال (1):
الحل:
∵ BC = AC + AB
تمرين(1):
أثبت أن النقاط : A ( - 2 , 7 ) , B ( - 3 , 4 ) , C ( 1 , 16 ) تقع على استقامة واحدة
مثال (2):
أثبت أن النقاط : A ( - 1 , 4 ) , B ( 1 , 1 ) , C ( -1 , -2) , D ( -3 , 1 )
هي رؤوس معين ثم أوجد مساحته.
الحل:
∵ AB= BC = CD = AD
تابع مثال (2):
الحل:
لإيجاد مساحة المعين نوجد
أوجد كل من AC , BD بدون استخدام قانون البعد بين نقطتين ؟
أثبت أن النقاط : A ( - 1 , 4 ) , B ( 1 , 1 ) , C ( -1 , -2) , D ( -3 , 1 ) هي رؤوس معين ثم أوجد مساحته.
أثبت أن النقاط : A ( 2 , 4 ) , B ( - 3 , 0 ) , C ( -7 , 5) , D ( -2 , 9 )
هي رؤوس مربع .
تمرين(2):
مثال (3):
أثبت أن النقاط : A ( - 6 , 2 ) , B ( 0 , 8 ) , D ( -8 , 4) تقع على الدائرة التي
مركزها C( -4 , 6 ).
الحل:
∵ AC= BC = DC
إذا كانت النقاط : A ( -2 , 0 ) , B ( 5 , 1 ) , C ( 6 , - 6)
تمر بها دائرة واحدة فأوجد احداثيا مركز الدائرة.
تمرين(3):
بنود موضوعية
اختر الإجابة الصحيحة من بين الخيارات المعطاة:
(1) البعد بين النقطتين ( a , -1 ) , ( a , 3 ) يساوي:
(a) 16 (b) 9 (c) 5 (d) 4
(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1
(a) 1 (b) 2 (c) 5 (d) 3
بنود الصواب و الخطأ:
احداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيمة
(M(x,y)
(B (x2, y2)
(A (x1, y1)
y – y1
x – x1
x
y
y2 – y
x2 – x
احداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيمة
(M(x,y)
(B (x2, y2)
(A (x1, y1)
y – y1
x – x1
x
y
y2 – y
x2 – x
من تطابق المثلثين AMC , MBD
C
D
x – x1 = x2 – x1
x – x1 = x2 – x
2x = x1 + x2
بالمثل:
احداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيمة
(M(x,y)
(B (x2, y2)
(A (x1, y1)
y – y1
x – x1
x
y
y2 – y
x2 – x
من تطابق المثلثين AMC , MBD
C
D
x – x1 = x2 – x1
x – x1 = x2 – x
2x = x1 + x2
بالمثل:
مثال:
الحل:
تمرين(1):
بنود موضوعية
اختر الإجابة الصحيحة من بين الخيارات المعطاة:
(a) 3 (b) – 2 (c) 2 (d) 4
للمناقشة:
* كيف يمكننا استخدام احداثيا منتصف قطعة مستقيمة لإثبات أن شكل رباعي متوازي أضلاع ؟
تقسيم قطعة مستقيمة
(M(x,y)
(B (x2, y2)
(A (x1, y1)
x
y
L1
L2
O
L
و بتوظيف طرح المتجهات:
أولا : التقسيم من الداخل:
احداثيا نقطة تقسيم قطعة مستقيمة
y – y1
x – x1
y2 – y
x2 – x
و بالمثل:
تقسيم قطعة مستقيمة
ثانيًا : التقسيم من الخارج:
(M(x,y)
(B (x2, y2)
(A (x1, y1)
x
y
L1
L2
O
(A (x1, y1)
(B (x2, y2)
L1
L2
–
مثال(1):
الحل:
A(4,2) B(8, – 6)
1 : 3
تمرين(1):
مثال(2):
الحل:
A(2,0) B(1, – 1)
5 : 4
تمرين(1):
ميل الخط المستقيم
ملاحظات
* ليس للمستقيم ميل
* الميل غير معرف
* المستقيم ليس مائل
الميل موجب
الميل سالب
الميل = صفر
* المستقيم أفقي
* المستقيم // محور السينات
x
y
x
y
ميل الخط المستقيم
ملاحظات
* ليس للمستقيم ميل
* الميل غير معرف
* المستقيم ليس مائل
الميل موجب
الميل سالب
الميل = صفر
* المستقيم أفقي
* المستقيم // محور السينات
x
y
x
y
ميل الخط المستقيم
x
y
x
y
x
y
x
y
الميل موجب
الميل = صفر
الميل غير معرف
الميل سالب
المستقيمات المتوازية و المستقيمات المتعامدة
توازي مستقيمين
تعامد مستقيمين
مثال(1):
الحل:
تمرين(1):
مثال(2):
الحل:
تمرين(2):
للمناقشة:
* كيف يمكننا إثبات أن شكل رباعي متوازي أضلاع ؟
* كيف يمكننا إثبات أن شكل رباعي معين ؟
* كيف يمكننا إثبات أن شكل رباعي مستطيل ؟
* كيف يمكننا إثبات أن شكل رباعي مربع ؟
* كيف يمكننا إثبات أن شكل رباعي شبه منحرف؟
معادلة الخط المستقيم
أولًا :معادلة المستقيم بمعلومية ميل المستقيم و نقطة عليه:
ثانيًا :معادلة المستقيم بمعلومية ميل المستقيم و طول الجزء المقطوع من محور الصادات:
ثالثًا : الصورة العامة لمعادلة المستقيم:
ملاحظات هامة:
* معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل ( 0 , 0 ) و ميله m هي: y = m x
* معادلة محورالسينات y = 0
* معادلة محورالصادات x = 0
مثال(1):
تمرين(1):
الحل:
ميل المستقيم المار بالنقطتين A , B
مثال(2):
ميل المستقيم المعطى = 2
الحل:
مثال(3):
نكتب معادلة المستقيم على الصورة:
الحل:
طول الجزء المقطوع من محور السينات = 4
طول الجزء المقطوع من محور الصادات = 3
تمرين(2):
مثال(4):
لدينا مثلث قائم الزاوية و طولي ضلعي القائمة وحدة طول 2 ، 3 وحدة طول
الحل:
بعد نقطة عن مستقيم
بعد النقطة A عن المستقيم L هي أقصر مسافة بين النقطة A والمستقيم L
و تساوي طول القطعة المستقيمة العمودية على L و طرفاها النقطة A و نقطة تقاطع هذه القطعة مع المستقيم L
(A (x1, y1)
بعد النقطة A(x1, y1 )عن المستقيم الذي معادلته ax + b y + c = 0 يعطى بالعلاقة:
d
L
مثال(4):
أوجد طول العمود المرسوم من النقطة A(6 , - 2) إلى المستقيم المار بالنقطتين B(4,4) ، C(1,0)
الحل:
تمرين(1):
معادلة الدائرة
* معادلة الدائرة التي مركزها النقطة (h , d) و طول نصف قطره r هي :
* معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل و طول نصف قطرها r:
* معادلة الدائرة التي مركزها النقطة (h , d) و تمس محور السينات:
* معادلة الدائرة التي مركزها النقطة (h , d) و تمس محور الصادات:
الصورة العامة لمعادلة الدائرة
* الصورة العامة لمعادلة الدائرة هي :
ملاحظات على الصورة العامة لمعادلة الدائرة:
* المعادلة من الدرجة الثانية في متغيرين x , y
* لا يوجد حد يتضمن x y
ملاحظة:
مثال(1):
الحل:
طول نصف القطر:
معادلة الدائرة:
مثال(2):
الحل:
طول نصف القطر:
المركز:
موضع نقطة بالنسبة لدائرة
النقطة تقع خارج الدائرة
النقطة تقع على الدائرة
النقطة تقع داخل الدائرة
بفرض أن لدينا نقطة A و بعدها عن مركز دائرة يساويm و طول نصف قطر الدائرة r
A
m
r
r
m
r
m
A
A
مثال(1):
الحل:
تمرين(1):
علاقة مستقيم بدائرة
المستقيم لا يقطع الدائرة
المستقيم مماس للدائرة
المستقيم يقطع الدائرة
بفرض أن لدينا مستقيم L و بعده عن مركز دائرة يساويm و طول نصف قطر الدائرة r
L
m
r
L
L
r
m
m
r
العلاقة بين دائرتين
متباعدتان
متماستان من الخارج
متماستان من الداخل
متقاطعتان
العلاقة بين دائرتين
مع أجمل تمنيات التوجيه العام للرياضيات