Morley-tétel

Blumenau Edit Tímea Hajós-Szabó Máté Katona Melinda

Krizsán Vince László Mészáros-Komáromy Botond Pölcz Zsigmond

Rózsa Bence Scherer Márton Álmos Sztupkay Áron

Frank Morley

Született: 1860. szept. 9, Woodbridge, Anglia

Elhunyt: 1937. okt. 17, Baltimore, USA

​

Morley kedvencei

​

Kardioid görbe

Morley I.: a és azok szögharmadolóira illeszkedik a kardioid centruma.

Morley tétele

Morley tétele: Bármely háromszögben a szögharmadolók metszéspontjai egy szabályos háromszög csúcsai

Conway bizonyítása

Conway bizonyítása

■ α

■ β

■ γ

Conway bizonyítása

■ α/3

■ β/3

■ γ/3

□ 60°

Conway bizonyítása

■ α/3

■ β/3

■ γ/3

□ 60°

Conway bizonyítása

■ α/3

■ β/3

■ γ/3

□ 60°

Conway bizonyítása

■ α/3

■ β/3

■ γ/3

□ 60°

Conway bizonyítása

■ α/3

■ β/3

■ γ/3

□ 60°

Conway bizonyítása

■ α/3

■ β/3

■ γ/3

□ 60°

Coxeter-féle bizonyítás I.

• Vegyük fel ABC háromszöget, melynek alapon lévő szögei tetszőleges 2β, 2γ.
• Szögfelezők segítségével vegyük fel E-t, majd AE-re vegyünk fel 30°-os szögben egyeneseket.

🡪 DEF szabályos háromszög.

​

Coxeter-féle bizonyítás II.

• Tükrözzük DEF háromszöget és BE egyenest AB-re.

🡪 BI egyenes és IJD háromszög.

• Hasonlóképpen tükrözzük CF oldalra DEF háromszöget és CE egyenest.

🡪 CH egyenes és FGH háromszög.

• IDFH négyszög húrtrapéz, hiszen ID=DF=FH, és AE-re szimmetrikus.
• Emiatt és a tükrözés miatt:

IDF∠ = 60°+ 2(90°-α) = �= 60° + 180° - 2α = 60° + 2β + 2γ

• IHF∠ = 180°- IDF∠ =�= 120°- 2β - 2γ
• IHD∠ = 60°- β-γ.
• BA*C∠ = 180 - 3β - 3γ, vagyis A*D és A*F szögharmadolók.

​

Coxeter-féle bizonyítás III.

α

​

Trigonometrikus bizonyítás

• Vegyünk fel α, β és γ szögeket, úgy hogy α+β+γ=60° (α, β, γ > 0°)
• Vegyünk fel egy XYZ szabályos háromszöget
• Vegyük fel AXY és BXZ háromszögeket úgy, hogy:

∠AXY = β + 60°

∠AYX = γ + 60°

∠BXZ = α + 60°

∠BZX = γ + 60°

• ∠AXB = 180°−(α+β) ezért ha

∠BAX = α+x

akkor ∠ABX = β−x

Trigonometrikus bizonyítás

Trigonometrikus bizonyítás

Geometriai bizonyítás I.

Egy, a tétellel ekvivalens állítást bizonyítunk.

• Vegyünk fel egy tetszőleges P₁P₂P₃ egyenlő oldalú háromszöget. Illetve jelöljük ki a₁;a₂;a₃ szögeket úgy, hogy összegük 60° legyen.
• Szerkesszük meg a szakaszokhoz tartozó a₁;a₂;a₃ szögű látóköröket.
• Vegyük fel a körívekre az egyenlő oldalú háromszög oldalait az ábrán látható módon.

Geometriai bizonyítás II.

Vegyük fel a Q₁R₂; R₁Q₃; Q₂R₃; pontok által meghatározott egyeneseket, ezek metszéspontjai legyenek X₁;X₂;X₃ pontok.

Q₁P₃P₂∠ = R₁P₂P₃∠ = 180°-2a₁

​

Q₂P₁P₃∠ = R₂P₃P₁∠ = 180°-2a₂

​

Q₃P₂P₁∠ = R₃P₁P₂∠ = 180°-2a₃

Geometriai bizonyítás III.

Geometriai bizonyítás IV.

a₁+a₂+a₃ = 60°

a₁+a₃ = 60°-a₂

Geometriai bizonyítás V.

P₂R₁X₁∠ = 180°-P₂R₁Q₃ =�= 180°-(60°+a₂) = 120°-a₂

​

P₃Q₁X₁∠ = 180°-P₃Q₁R₂∠ =�= 180°-(60°+a₃) = 120°-a₃

Geometriai bizonyítás VI.

​

Tehát X₁ pont rajta van a körön és X₁P₃; X₁P₂ szögharmadolók, hasonlóképp X₂; X₃ pontok.

​

Mivel tetszőleges egyenlő oldalú háromszöggel és tetszőleges a₁; a₂; a₃ szögekkel kezdünk, a bizonyítás

minden háromszögre kiterjed.

Q₁X₁R₁ =�= 540°-(P₃Q₁X₁∠+Q₁P₃P₂∠+R₁P₂P₃∠+P₂R₁X₁∠) =�= 540°-(120°-a₃+180°-2a₁+180°-2a₁+ 120°-a₂ = = 540°-(600°-2a₁-a₂-a₃) = -60°+4a₁+a₂+a₃=3a₁

a₁+a₂+a₃ = 60°

Külső szögek harmadolói

Legyen a belső szög 3α, szögharmadolói α

🡪 A külső szög 180°-3α

• A külső szög szögharmadolói 60°-α

​

Tételkimondás

AG külső szögharmadoló

BH külső szögharmadoló

GDF, valamint HDE két egyenest határoznak meg

Állítás: HDG háromszög szabályos

Bizonyítás menete

2 részes

Állítsunk DB-re és DA-ra egymás után két 60°-os szöget

A megfelelő egyenesek metszéspontjai legyenek G és H

Állítás 1: HDG szabályos

Állítás 2: HDE, valamit GDF egy-egy egyenesen vannak

HAD∠ + HBD∠ = 120°+60° = 180°�🡪 HBDA húrnégyszög

GAD∠ + GBD∠ = 60°+120° = 180°�🡪 GBDA húrnégyszög

🡪 HADBG egy körön van

B pontból HD 60° alatt látszik

A pontból GD 60° alatt látszik

B pontból HG 60° alatt látszik

🡪 HG = HD = GD 🡪 GHD háromszög szabályos

Állítás 2: HDE egy egyenesen van

HDG∠ = 60°

HDA∠ = HBA∠ = 60°-β

Conway-féle bizonyítás miatt ADF∠ = 60°+β

• GDF∠ = 60°+60°-β+60°+β = 180°

🡪 Állítás

Köszönjük a figyelmet!