By GISOESILO ABUDI

Materi ini dapat diunduh di

www.soesilongeblog.wordpress.com

L/O/G/O

LOGIKA MATEMATIKA

OTAK dianugerahi Tuhan kepada manusia, salah satu fungsinya sebagai alat untuk berpikir. Kalau otak merupakan alatnya, akal adalah daya pikir manusia. Akal ini merupakan pembeda antara manusia dan binatang. Meskipun dengan akalnya manusia mampu berpikir, tetapi proses berpikirnya itu tidak selalu menghasilkan kesimpulan yang sahih (valid). ILMU LOGIKA salah satunya berfungsi untuk menjelaskan cara menarik kesimpulan yang sahih.

Logika Matematika

Penarikan kesimpulan

4

Pernyataan & Bukan Pernyataan

1

ngkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, & Biimplikasi I

2

Konvers, Invers, & Kontraposisi

3

Isi dari materi logika matematika adalah sebagai berikut :

Pengertian

Logika berasal dari kata Yunani kuno logos yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa.

A. Pernyataan & Bukan Pernyataan

KALIMAT BERARTI

Dalam komunikasi sehari-hari baik formal maupun tidak formal, kalimat yang digunakan harus memiliki arti atau kalimat berarti, sdisjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda ”v”. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata hubungan “atau”. Jika p dan q dua pernyataan maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya p dan q bernilai salah jika keduanya bernilai salah.

Contoh dari disjungsi adalah

1. p : Bogor adalah kota hujan ( benar ) q : Bogor ada di pulau Sulawesi ( salah ) pvq : Bogor adalah kota hujan atau bogor ada di pulau Sulawesi ( benar )

2. p : 2 + 4 x 5 = 30 ( salah ) q : 2 + 4 x 5 = 22 ( benar ) pvq : 2 + 4 x 5 = 30 atau 2 + 4 x 5 = 30 ( benar )

3. p : Indonesia adalah negara berkembang ( benar ) q : Jepang adalah negara maju ( benar ) pvq : Indonesia adalah negara berkemba Jepang adalah negara maju ( benar )

4. p : Inggris adalah negara asia ( salah ) q : Danau Toba ada di Irian Jaya ( salah ) pvq : Inggris adalah negara asia atau Danau Toba ada di Irian Jaya ( salah ) Tabel Kebenaran Disjungsi

p B B S S

q B S B S

pvq B B B S

Operasi Biimplikasi ( Bikondisional). Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “……jika dan hanya jika …..” dinotasikan “⇔” . Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p ⇔ q dibaca p jika dan hanya jika q.Pernyataan p ⇔ q dapat juga dibaca :

1. p equivalent q

2. p adalah syarat perlu dan cukup bagi q Jika p dan q dua buah pernyatan maka p ⇔ q benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p ⇔ q salah bila salah satu salah , atau salah satu benar Contoh dari biimplikasi

1. p : Ayah mendapat gaji ( benar ) q : Ayah bekerja ( benar ) p⇔q : Ayah mendapat gaji jika dan hanya jika ayah bekerja ( benar)

2. p : Ani lulus ujian ( benar ) q : Ani malas belajar ( salah ) p⇔q : Ani lulus ujian jika dan hanya jika Ani malas belajar ( salah )

3. p : Padi tidak tumbuh subur ( salah ) q : Padi diberi pupuk ( benar ) p⇔q : Padi tidak tumbuh subur jika dan hanya jika padi diberi pupuk ( salah )

4. p : Doni mendapat nilai jelek ( salah ) q : Doni malas belajar ( salah ) p⇔q : Doni mendapat nilai jelek jika dan hanya jika Doni malas belajar ( benar ). Tabel Kebenaran Biimplikasi

p B B S S

q B S B S

p⇔q B S S B

Operasi Implikasi. Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang menggunakan kata hubung “ jika …. maka ….” yang dilambangkan “ ⇒“. Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis p⇒q dan dibaca “ jika p maka q”. Pernyataan bersyarat p⇒q juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”. Dalam pernyataan p⇒q p disebut hipotesa / anteseden / sebab q disebut koklusi / konequen / akibat Jika p dan q dua buah pernyataan maka p⇒q salah jika p benar dan q salah,dalam kemungkinan lainnya p⇒q benar

. Contoh dari Implikasi

1. p : 10 adalah bilangan genap ( benar ) q : 10 habis di bagi 2 ( benar ) p⇒q : Jika 10 adalah bilangan genap maka 10 habis di bagi 2 ( benar ).

2. p : Indonesia di lalui garis khatulistiwa ( benar ) q : Di Indonesia ada empat musim ( salah ) p⇒q : Jika Indonesia di lalui garis khatulistiwa maka di Indonesia ada empat musim ( salah )

3. p : 12 adalah bilangan prima ( salah ) q : 12 habis dibagi 4 ( benar ) p⇒q : Jika 12 adalah bilangan prima maka 12 habis dibagi 4 ( benar )

4. p : Inggris adalah negara berkembang ( salah ) q : Inggris bukan anggota organisasi negara maju ( salah ) p⇒q : Jika Inggris adalah negara berkembang maka Inggris bukan anggota organisasi negara maju ( benar ) Tabel Kebenaran Implikasi

p B B S S

q B S B S

p⇒q B S B B

Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk. Dari pernyataan-pernyataan tunggal p, q, r, . . . dan dengan menggunakan operasi-operasi pernyataan negasi (~), konjungsi (Λ), disjungsi (v), implikasi (⇒) dan biimplikasi (⇔) dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit. Contoh : 1) ~( p v ~q) 2) ~(pΛ(p⇒q)) 3) ~((pvq)⇒r) Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut . Contoh : Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ (pv~q ).

p q ~q (p v q) ~(p v ~q)

B B S S

B S B S

S B S B

B B S B

S S B S

ehingga maksud yang disampaikan dapat diterima dengan baik.

Kalimat berarti dalam penggunaannya pada logika matematika terbagi menjadi dua, yaitu kalimat deklaratif atau pernyataan proposisi dan kalimat non deklaratif atau bukan pernyataan.

A. Pernyataan & Bukan Pernyataan

Contoh kalimat tidak berarti :

• Angin berjalan dengan santai
• Kursi menari-nari di bawah meja

​

KALIMAT NON DEKLARATIF

Kalimat deklaratif atau bukan pernyataan adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya, dan biasanya berupa kalimat perintah, kalimat tanya, kalimat harapan atau kalimat terbuka.

​

KALIMAT BERARTI

Kalimat deklaratif atau pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah saja, dan tidak keduanya pada saat yang sama.

Contoh kalimat deklaratif

Contoh

• ​

Contoh kalimat non deklaratif

Contoh

• Semoga Tuhan mengampuni dosa-dosa kita
• Berapakah jumlah SMK di Indonesia
• Makanlah jika anda lapar
• Semoga masih ada yang mencintaiku
• …

Pernyataan & Bukan Pernyataan

KALIMAT tidak BERARTI

Kalimat tidak berarti adalah suatu kalimat yang tidak dapat diterima akal (rasio).

Contoh

• 1.Mobil itu terbang sejauh 2 km
• 2.Semua penduduk terkena penyakit flu burung

www.soesilongeblog.wordpress.com

L/O/G/O

Thank You!

Skema kalimat

Kalimat

Kalimat tak berarti

Pernyataan / proposisi / deklaratif

Kalimat berarti

Faktual

Bernilai benar

Bukan pernyataan

Kalimat tanya

Kalimat terbuka

Kalimat perintah

Kalimat harapan

Bernilai salah

B. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandung peubah (variabel)

• Variabel

adalah suatu simbol yang menunjukkan anggota (unsur) tertentu dalam semesta pembicaraan yang ikut menentukan perubahan.

• Konstanta

adalah suatu simbol yang menunjukkan anggota (unsur) tertentu dalam semesta pembicaraan.

LATIHAN

• Jika kamu siswa kelas X kelompok teknologi kerjakan latihan halaman 180 (buku sumber erlangga kelas X)
• Jika kamu siswa kelas XI kelompok bisnis, kerjakan latihan halaman … (buku sumber erlangga kelas XI)

Kalimat Terbuka

Contoh

• 5p – 10 = 15, p Є A
• x2 + 2x 15 > 0
• Patung itu adalah patung proklamator Indonesia
• 3x + 7 = y, x dan y Є C

Pengayaan

Buatlah masing-masing

5 contoh dari :

Pernyataan

Bukan pernyataanKalimat tak berarti

Kalimat terbuka

• ​