التذبذبات القسرية في دارة RLC متوالية

إن الدارة RLC المتوالية تعتبر متذبذبا كهربائيا مخمدا ، نضيف لها على التوالي مولد GBF يزودها بتوتر متناوب جيبي يفرض عليها [ N و Um] نظام متناوب جيبي ، نقول إن الدارة RLC المتوالية توجد في نظام جيبي وقسري .

1- النظام المتناوب الجيبي .

1-1- شدة التيار المتناوب الجيبي i(t) :

شدة التيار المتناوب الجيبي هي :

مع

I_m : شدة التيار القصوية (ب A) .

ω : نبض التيار i(t) (ب rad.s^-1) .

T : دور التيار i(t) (ب s) .

N : تردد التيار i(t) (ب Hz) .

ω.t + φ_i : طورi(t) عند اللحظة t (ب rad) .

φ_i : طورi(t) عند t = 0 (ب rad) .

• الشدة الفعالة I :

نعرف الشدة الفعالة I بالعلاقة :

تقاس الشدة الفعالة I بالأمبيرمتر

2-1- التوتر المتناوب الجيبي u(t):

التوتر المتناوب الجيبي هو :

U_m : التوتر القصوي (ب V) .

ω : نبض التوتر u(t) (ب rad.s^-1) .

T : دور التوتر u(t) (ب s) .

N : تردد التوتر u(t) (ب Hz) .

ω.t + φ_u : طورu(t) عند اللحظة t (ب rad) .

φ_u : طورu(t) عند t = 0 (ب rad) .

• التوتر الفعال U :

نعرف التوتر الفعالة U بالعلاقة :

يقاس التوتر الفعالة U بالفولطمتر .

3-1- φ طور التوتر u(t) بالنسبة للتيار i(t) .

نعرف φ طور التوتر u(t) بالنسبة للتيار i(t) بالعلاقة التالية :

إذا كان φ > 0 فإن u(t) متقدمة في الطور على i(t) .

إذا كان φ < 0 فإن u(t) متأخرة في الطور على i(t) .

إذا كان φ = 0 فإن u(t) و i(t) على توافق في الطور.

حيث τ الفرق الزمني بين u(t) و i(t) .

2- دراسة دارة RLC متوالية في نظام جيبي وقسري .

1-2- التركيب التجريبي :

يزود المولد GBF الدارة RLC المتوالية بتوتر متناوب جيبي u(t) = U_mcos(ωt + φ) ، فيظهر في الدارة RLC تيار كهربائي شدته i(t) = I_mcos(ωt) .

نسمي الدارة RLC : المثير. والمولد GBF : الرنان .

نعاين التوتر u(t) في المدخل Y₁ والتوتر u_R(t) في المدخل Y₂

حسب قانون أوم u_R(t) = R.i(t) إذن :

إذن المنحنى i(t) يتناسب مع المنحنى u_R(t) .

- ملاحظات : ل i(t) و u (t) نفس التردد N ( ) لإن المولد GBF هو الذي يفرض تردده N (تذبذبات قسرية) .

φ : طور u(t) بالنسبة ل i(t) يتعلق ب التردد N .

2-2- مفهوم الممانعة Z لثنائي قطب :

الممانعة Z مقدار فيزيائي يميز ثنائي القطب ، ونعرفها بالعلاقة التالية :

وحدة Z في (SI) هي الأوم Ω . (تتعلق الممانعة Z بالتردد N) .

3-2- الدراسة النظرية للدارة RLC المتوالية :

أ – المعادلة التفاظلية للدارة :

نعتبر دارة متوالية RLC ، يفرض المولد GBF التوتر u(t) بحيث : u(t) = U_mcos(ωt + φ) فيمر في الدارة تيار i(t) = I_mcos(ωt) .

• حسب قانون إضافية التوترات :

• بالنسبة للموصل الأومي u_R(t) = R.i(t) .

• بالنسبة للوشيعة : .

• بالنسبة للمكثف :

لدينا

و

إذن :

(نعتبرq₀ = 0 عند t = 0).

ومنه :

إذن :

المعادلة التفاظلية للدارة RLC المتوالية .

- من جهة أخرى i(t) = I_mcos(ωt) :

إذن :

وأيضا :

إذن المعادلة التفاظلية الأخيرة تصبح :

مع :

ب – حل المعادلة التفاظلية – إنشاء فرينيل :

• متجهة فرينيل :

في معلم متعامد ممنظم نقرن لكل مقدار جيبي y = a.cos(ωt + φ)

متجهة تسمى متجهة فرينيل تمثل عند اللحظة t = 0 حيث :

✔ ✔ إنشاء فرينيل :

نقرن لكل مقدار جيبي متجهة فرينيل ونختار اللحظة t = 0 .

وجدنا أن :

إذن :

في المثلث ABC لدينا :

وبما أن :

وأيضا :

و

✔ ✔ ✔ ملحوظة :

إذا كان φ > 0 :

يعني u(t) متقدمة في الطور على i(t) tgφ > 0

التأتير التحريضي متفوق على التأتير الكثافي .

إذا كان φ < 0 :

يعني u(t) متأخرة في الطور على i(t) tgφ < 0

التأتير الكثافي متفوق على التأتير التحريضي.

إذا كان φ = 0 :

يعني u(t) و i(t) على توافق في الطور tgφ = 0

التأتير التحريضي يساوي التأتير الكثافي.

3- ظاهرة الرنين الكهربائي .

1-3- تجربة :

نعتبر التجربة الممثلة في الشكل جانبه :نبقي التوتر الفعال للمولد GBF تابت ثم نغير N تردده ونقيس I شدة التيار الفعالة ، نحصل على منحنى الإستجابة I = f (N) .

نعيد التجربة بالنسبة لقيمتين للمقاومة R_TOT الكلية للدارة (R_TOT = R + r) وذالك بتغيير R .

أ – قيمة تردد الرنين N₀ :

منحنيات الإستجابة

القيمتان القصويتان لشدة التيارالفعالI₀ و I₀’ يوافقان نفس التردد N = 2000 Hz .

لنحسب التردد الخاص N₀ للدارة : (نعطي C = 6,4 μF و L = 1 mH) .

نعلم أن :

نستنتج أن شدة التيار الفعالة I تكون قصوية عندما يساوي تردد المولد N التردد الخاص N₀ للدارة RLC (N ≈ N₀) نقول إن الدارة توجد في حالة رنين .

ب – تأثير مقاومة الدارة R_TOT :

إذا كانت R_TOT صغيرة يكون الرنين حادا إذا كانت R_TOT كبيرة يكون الرنين ضبابي .

2-3- الدراسة النظرية للرنين :

أ – التردد عند الرنين N₀ :

لدينا :

تكون I قصوية إذا كانت Z دنوية ، عندما يكون :

عند الرنين

ب – ممانعة الدارة عند الرنين Z :

عند الرنين :

ومنه :

تيار فعال قصوي

ج – الطور φ للتوتر u(t) بالنسبة لشدة التيار i(t) عند الرنين .

لدينا :

و

عند الرنين

د – المنطقة الممررة ذات -3dB .

• حساب ΔN أو Δω :

لدينا :

لنحسب :

لدينا :

القيمتان N₁ و N₂ يوافقان في المنحنى I = f (N) التيار:

حيث :

إذن :

د – معامل الجودة Q (معامل فرط التوتر) .

نعرف معامل الجودة Q بالعلاقة التالية :

Q بدون وحدة

كلما كانت Q كبيرة كان الرنين حادا

لدينا :

و

ولدينا :

• ملحوظة :

- عند الرنين يكون التوتر الفعال بين مربطي المكثف هو :

- عند الرنين يكون التوتر الفعال بين مربطي الوشيعة (دون مقاومتها) هو :

- عند الرنين يكون التوتر الفعال بين مربطي الدارة RLC :

ومنه :

عندما يكون الرنين حادا تكون Q كبيرة إذن : U_L > U و U_C > U

مما يؤدي إلى فرط توتر وبالتالي إنبعاث شرارات مما يسبب إتلاف المكثف أو الوشيعة .

4- القدرة في النظام المتناوب الجيبي P .

1-4- القدرة اللحظية P_i :

نعتبر ثنائي قطب AB يمر فيه تيار كهربائي شدته :

ويطبق بين مربطيه توتر لحظي :

نكتب تعبير القدرة اللحظية :

في الرياضيات نذكر أن :

ومنه :

2-4- القدرة المتوسطة P_m :

لتكن E الطاقة الكهربائية المكتسبة من طرف ثنائي القطب AB خلال دور T .

لنحسب التكامل A :

ومنه :

فتكون القدرة المتوسطة هي :

ومنه :

: معامل القدرة

الجداء UI يسمى القدرة الظاهرية ، رمزه S ووحدته فولط أمبير (V.A) .

إذن : S = U.I

• ملحوظة :

بالنسبة للدارة RLC المتوالية ، نعلم أن

بالنسبة لدارة RLC متوالية تستهلك القدرة المتوسطة P_m فقط بمفعول جول من طرف المقاومة الكلية للدارة R_TOT .

و