Перевіряємо домашнє завдання

Перевіряємо домашнє завдання

Теорема синусів

Наслідки з теореми синусів

Наслідок 1. У будь-якому Δ відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, опосаного навколо цього Δ.

​

Увага! а=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC

Наслідок 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона.

Наслідок 3. (властивість бісектриси) Бісектриса кута Δ ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

​

KC – бісектриса, тоді

Які типи задач можна розв’язати за допомогою

теореми синусів?

​

1. За стороною і прилеглими до неї кутами знаходити інші сторони і кути трикутника.

​

• За двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них, знаходити інші сторони і кути трикутника.

​

• За стороною і протилежним кутом знаходити радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

Приклад. У трикутнику ABC дано b = 9см, с = 11 см, ∠B = 50°. Знайти ∠ С, ∠ A.

​

Дано: ΔАВС ( див рис.), АС = 9 см, АВ = 11 см, ∠B = 50°.

Знайти: ∠ A, ∠ C.

Розв'язання

​

За теоремою синусів

Цьому значенню синуса відповідає два кути ≈69° і ≈111°.

Тоді ∠A = 180° - (∠C + ∠B), ∠A = 180°- (50° + 69°) = 61° або ∠A =180°-(50° + 111°)= 19°.

​

Відповідь. ≈69°, ≈61° або ≈111°, ≈19°.

​

Звідси

Виконання вправ

Виконання вправ

Приклад. У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 8 см і 10 см. Знайти гіпотенузу трикутника.

Дано: ΔАВС - прямокутний (∠C= 90°) СК= 8 см, ВК= 10 см.

Знайти: АВ.

Розв 'язання

​

За властивістю бісектриси СК:ВК = АС: АВ = 8 : 10 = 4 : 5 .

Отже, АС становить 4 частини, АВ - 5 таких частин. Нехай одна частина дорівнює х см, тоді АС = 4х см, АВ = 5х см.

СВ = 8 + 10 = 18 (см).

За теоремою Піфагора АВ² = АС² + СВ².

Маємо:

(4х)² + 18² = (5х)²; 16х² + 324 = 25х²;

9х² = 324, х² = 36,

х = ±6, -6 — не задовольняє умову задачі.

Отже, х = 6, тоді АВ = 5 · 6 = 30 (см).

​

Відповідь. 30 см.

​

Домашнє завдання

• Презентація,
• №3.6, 3.13