ALJABAR LINEAR�Eigen value & Eigen vektor

Eigen value & Eigen vektor

Definisi :

Jika terdapat suatu matrik A berukuran n x n dan vektor tak nol x berukuran , x Rⁿ, maka dapat dituliskan :

​

​

Ax : vektor berukuran n x n

λ : skalar riil yang memenuhi persamaan, disebut nilai eigen (karekteristik)

x : vektor eigen

​

​

Ax = λx

​

� NILAI EIGEN Dan VEKTOR EIGEN

Apabila sebuah matriks A yang berukuran n x n dan vektor x adalah sebuah vektor pada Rⁿ, maka Ax juga merupakan sebuah vektor pada R^n­­, namun biasanya secara umum tidak terdapat hubungan geometris antara vektor x dengan vektor Ax (Gambar 11.1a).Namun, di dalam kasus-kasus tertentu diperoleh beberapa vektor x tak nol sehingga x dan Ax merupakan penggandaan atau kelipatan skalar satu sama lainnya (Gambar 11.1b).

​

Cara menentukan nilai eigen dari A :�

Untuk mencari nilai eigen dari matrik A yang berukuran n x n yang memenuhi persamaan :

Ax = λx dapat ditulis sebagai :

IAx =IλX , Ax = λIx atau ekivalen : (λI – A)x = 0

Sistem persamaan tersebut memiliki jawab bukan nol (singular), jika dan hanya jika :

Det (A)=

​

Ini disebut sebagai persamaan karakteristik

(polinomial dalam λ)

​

​

​

​

​

Contoh soal :

1. Buktikan vektor adalah vektor eigen dari dan tentukan nilai eigennya!

Jawab :

Untuk membuktikannya dilakukan dengan cara mengali-kan matrik dengan vektor, sehingga diperoleh hasil kelipatan dari vektor iatu sendiri.

​

​

​

vektor eigen

nilai eigen

2. Carilah nilai eigen dari : A =

Jawab :

Nilai eigen ditentukan dari persamaan :

​

Contoh soal :

​

2. Buktikan vektor adalah vektor eigen dari dan tentukan nilai eigennya!

Jawab :

Untuk membuktikannya dilakukan dengan cara mengali-kan matrik dengan vektor, sehingga diperoleh hasil kelipatan dari vektor iatu sendiri.

​

​

​

Cara menentukan vektor eigen dari A :�

• Banyaknya nilai eigen maksimal n buah.

Untuk setiap nilai eigen dapat dicari ruang solusi untuk x dengan memasukkan nilai eigen ke dalam persamaan : (λI – A)x =0

• Ruang solusi yang diperoleh disebut : ruang eigen. Dari ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tertentu dapat dicari minimal sebuah basis ruang eigen yang saling bebas linier.

​

• Vektor eigen yang berhubungan dengan λ adalah vektor-vektor tidak nol dalam ruang eigen.

​

​

​

​

​

​

​

Basis dari ruang eigen yang berhubungan dengan λ=1 adalah : �

​

Untuk λ=2 :

​

​

​

​

​

​

​

Basis dari ruang eigen yang berhubungan dengan λ=2 adalah : dan

2. Carilah nilai-nilai eigen dan basis-basis untuk ruang eigen dari :

Jawab :

Persamaan karakteristik :

​

​

det (λI – A)= 0

(λ-3)(λ) – (1)(-2)=0

λ ²- 3 λ + 2 = 0 Nilai eigen : λ₁ = 2, λ₂ = 1

​

​

​

​

Ruang vektor :

​

Untuk λ₁ = 2 diperoleh :

​

-x₁ – 2x₂ = 0

x₁ + 2x₂ = 0

Jadi vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ adalah vektor tak nol :

Jadi untuk λ=2, basisnya adalah :

​

​

​

​

x₁ = –2x₂

​

3.

Contoh soal :

1. Tentukan basis dari ruang eigen :

​

Jawab :

Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh nilai eigen A adalah 1 dan 2. Dengan substitusi λ=1 ke persamaan : (λI-A)x = 0 diperoleh :

​

​

​

​

Contoh

• Perhitungan Vektor Eigen
• Kita tinjau kembali persamaan dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam subbab sebelumnya telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A(λ ), pada subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen(vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya.
• Kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde 2 x 2 berikut:
• A =

• Persamaan tersebut dapat dituliskan:

​

​

​

• Persamaan diatas dikalikan dengan identitas didapatkan:

=

=

= 0

​

Persamaan diatas dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:

​

Persamaan diatas adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rⁿ yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.

Contoh

Dapatkan vektor eigen dari matriks A =

Penyelesaian: