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ANÁLISE COMBINATÓRIA

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A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento.

COMBINAÇÃO SIMPLES

Combinação simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.

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Exemplo: Quantas comissões de dois podem ser formados com 5 alunos ( A, B, C, D e E) de uma classe?

1° aluno 2ª aluno n° de comissões

( 5 possibilidades) ( 4 possibilidades) (10 comissões)

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A B AB

C AC

D AD

E AE

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B A BA = AB

C BC

D BD

E BE

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C A CA = AC

B CB = BC

D CD

E CE

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D A DA = AD

B DB = BD

C DC = CD

E DE

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E A EA = AE

B EB = BE

C EC = CE

D ED = DE

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FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES:

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No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta calcular o número de arranjos e dividir o resultado por 2 ( 20 : 2 = 10 ), que é o fatorial do número de elementos que compõe cada comissão ( 2).

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O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p a p divididos por p!, isto é:

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C n, p = n !

p! ( n – p)!

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C _{5, 2} = 5 ! = 5. 4. 3. 2. 1

2! ( 5 – 2) ! 2! 3!

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C _{5, 2} = 120 = 120 = 10

2.1.3.2.1 12

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n= elementos distintos, quantidades de coisas

ex: 5 alunos (A, B, C, D e E)

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p= agrupamentos possíveis

ex: duplas ou tomados dois a dois.

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PERMUTAÇÃO SIMPLES

Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. �

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P_n = n!   

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Ex.:

Quantos são os anagramas da palavra AMOR?

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AMOR

AMRO

A AORM

AOMR

ARMO

AROM

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MORA

MOAR

MROA

M MRAO

MAOR

MARO

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OAMR

OARM

O OMAR

OMRA

ORMA

ORAM

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R O M A

R O A M

R A O M

R R A M O

R M A O

R M O A

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P ₄ = 4!

P = 4. 3. 2. 1 = 24

Temos 24 possibilidades de escrever a palavra amor.

Com a 1ª letra da palavra amor, (A) , consigo obter 6 possibilidades

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Ex 2 - Quantos são os anagramas da palavra OSSO?

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OSSO

OSOS�SOSO�OOSS�SSOO�SOOS

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  P ₄ ^{2, 2} = 6 permutações ou anagramas

ARRANJOS SIMPLES

Arranjos simples é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.

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 ������1)  Quatro clubes Juventude, Palmeiras e Esperança e Fluminense disputam as finais de um torneio de futebol. Ao final do certame as classificações possíveis desses clubes são os arranjos simples dos quatro elementos Juventude, Palmeiras, Esperança e Fluminense tomados quatro a quatro. �

a)  Quais são as possibilidades que podemos encontrar?

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1° lugar 2° lugar 3° lugar 4° lugar

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Palmeiras Esperança Fluminense

Juventude Palmeiras Fluminense Esperança

Fluminense Palmeiras Esperança

Fluminense Esperança Palmeiras

Esperança Palmeiras Fluminense

Esperança Fluminense Palmeiras

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Juventude Esperança Fluminense

Juventude Fluminense Esperança

Fluminense Juventude Esperança

Fluminense Esperança Juventude

Esperança Juventude Fluminense

Esperança Fluminense Juventude

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Juventude Palmeiras Fluminense

Juventude Fluminense Palmeiras

Fluminense Juventude Palmeiras

Fluminense Palmeiras Juventude

Palmeiras Juventude Fluminense

Palmeiras Fluminense Palmeiras

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Juventude Palmeiras Esperança

Juventude Esperança Palmeiras

Esperança Juventude Palmeiras

Esperança Palmeiras Juventude

Palmeiras Juventude Esperança

Palmeiras Esperança Juventude

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Palmeiras

Esperança

Fluminense

b)  Quantas possibilidades existem?

Existem 24 possibilidades.

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O número de arranjos simples tomados quatro a quatro ( A _{4, 4} ) também pode ser calculado pelo princípio fundamental da contagem:

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A _{4, 4} = 4. 3. 2. 1 = 24

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 c) Quantas possibilidades há do Flamengo ficar em 1° lugar?

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Existem 6 possibilidades do Flamengo ficar em primeiro lugar, assim como os demais times também possuem 6 possibilidades de ficar em primeiro lugar.

2) Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser forma­dos, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5?

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1 ° algarismo 2° algarismo números formados

(4 possibilidades) (3 possibitidades) ( 12 números)

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3 23

2 4 24

5 25

2 32

3 4 34

5 35

2 42

4 3 43

5 45

2 52

5 3 53

4 54

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Pode-se observar que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si:

* pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo)

Os grupos assim obtidos são denominados arranjos simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são indicados A _{4, 2} = 4. 3 = 12

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Trabalho feito por:

Alice Ahlert

Vanessa Paula Reginatto

Bernadete

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Estudantes do curso de Ciências Exatas – UNIVATES

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Lajeado - RS

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