УКЛАДАННЯ РІЗНОРІВНЕВИХ ЗАВДАНЬ З ПАРАМЕТРАМИ (НМТ)
Підготовка до НМТ з математики
Автор: Лілія Корж
ЩО ТАКЕ ПАРАМЕТР У ЗАДАЧАХ
Параметр — це змінна, значення якої впливає на умову або розв’язок задачі.
Приклади:
x² = a
(a - 2)x = 4
Трикутник із сторонами a, 2a, 3a.
АЛГЕБРА — БАЗОВИЙ РІВЕНЬ
Задача: Розв’яжіть рівняння (a - 2)x = 4.
Розв’язок:
1. Якщо a ≠ 2, то x = 4 / (a - 2).
2. Якщо a = 2, то рівняння не має розв’язку.
Відповідь: при a ≠ 2 рівняння має один розв’язок.
АЛГЕБРА — СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ
Задача:
Знайти всі a, при яких рівняння
x² - 2ax + a² - 1 = 0 має різні корені.
Розв’язок:
D = (2a)² - 4(a² - 1) = 4.
D > 0 завжди, отже, рівняння має два різних корені для всіх a.
АЛГЕБРА — ВИСОКИЙ РІВЕНЬ
Задача:
Для яких a графік y = |x - a| і y = x² мають дві спільні точки?
Розв’язок:
Розв’язуємо |x - a| = x². ( Можна робити графічно)
Для певних a отримаємо дві точки перетину, якщо 0 < a < 1.
Відповідь: a ∈ (0; 1).
ГЕОМЕТРІЯ — БАЗОВИЙ РІВЕНЬ
Задача:
У трикутнику одна сторона дорівнює a,
друга — 2a, знайти кут між ними, якщо площа дорівнює a².
Розв’язок:
S = 1/2 * a * 2a * sin(α) = a²
sin(α) = 1
α = 90°.
ГЕОМЕТРІЯ — СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ
Задача: У прямокутнику одна сторона дорівнює x, інша — (x + a). Знайти a, якщо площа = 30 і x = 5.
Розв’язок:
5(x + a) = 30
25 + 5a = 30
a = 1.
ГЕОМЕТРІЯ — ВИСОКИЙ РІВЕНЬ
Задача:
При яких a існує трикутник зі сторонами a, 5 і 8?
Розв’язок:
Умова існування трикутника:
|5 - 8| < a < 5 + 8
3 < a < 13.
ЗАДАЧА 1. УМОВА
Знайдіть всі значення параметра a, при яких рівняння
|x − a| = 2x − 1 має єдиний розв’язок.
ЗАДАЧА 1. РОЗВ’ЯЗОК
1) Якщо x ≥ a:
x − a = 2x − 1
x = 1 − a
Умова: 1 − a ≥ a
a ≤ 1/2
2) Якщо x < a:
a − x = 2x − 1
3x = a + 1
x = (a + 1)/3
Умова: (a + 1)/3 < a
a > 1/2
Єдиний розв’язок при a = 1/2.
ЗАДАЧА 2. УМОВА
При яких значеннях параметра m система
x² + y² = 4
y = mx
має рівно два різних розв’язки?
ЗАДАЧА 2. РОЗВ’ЯЗОК
Підставимо y = mx:
x² + m²x² = 4
x²(1 + m²) = 4
x² = 4/(1 + m²)
Оскільки 1 + m² > 0 при будь-якому m,
x має два протилежні значення.
Отже, система має два розв’язки при будь-якому m.
ЗАДАЧА 3. УМОВА
ЗАДАЧА 3. РОЗВ’ЯЗОК
Ліва частина = (x − a)² − 3
Максимум на [0;2] досягається в кінцях відрізка.
Перевіримо x = 0 і x = 2:
1) a² − 3 ≤ 0
2) (2 − a)² − 3 ≤ 0
Розв’язуючи систему, отримаємо:
a ∈ [1; 2].
ЗАДАЧА 4. УМОВА
При яких значеннях параметра p рівняння
x⁴ − 2px² + p² − 4 = 0 має чотири різних дійсних корені?
ЗАДАЧА 4. РОЗВ’ЯЗОК
Позначимо t = x² ≥ 0.
t² − 2pt + p² − 4 = 0
D = 4p² − 4(p² − 4) = 16
t = p ± 2
Для 4 різних коренів потрібно:
1) p − 2 > 0
2) p + 2 > 0
Отже, p > 2.
ПЕРЕВІР СЕБЕ!
Знайди всі значення a, при яких рівняння (a - 3)x² + 2x + 1 = 0 має один корінь.
Підказка: для одного кореня D = 0.
ВИСНОВКИ
✅ Параметри допомагають створювати різнорівневі завдання.
✅ Завдання з параметрами розвивають логічне мислення.
✅ Для НМТ важливо розуміти, як змінюється розв’язок залежно від параметра.
Дякую за увагу!