��10. OSZTÁLY: IX. TÉMAKÖR:�HASONLÓSÁG

​

​

KOPPÁNYI ANIKÓ

KOVÁCS PÁL BAPTISTA GIMNÁZIUM

​

Geometria hozzárendelés

Geometria hozzárendelés:

olyan függvények, amelyek értelmezési

tartománya és értékkészlete is ponthalmaz.

Geometriai transzformációk:

kölcsönösen egyértelműek, értelmezési tartomány

és az értékkészlet ugyanaz a ponthalmaz.

Pl: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, elforgatás, középpontos hasonlóság

Merőleges vetítés

Speciális transzformáció.

Térbeli test pontjait síkba vetítjük le, teret egy síkra vetítjük le, dimenziócsökkenés történt.

Tervezésben, mérnöki munkában használatos

​

​

https://tavoktatas.mnt.org.rs/sites/default/files/2020-09/5.%20ora.pdf

Középpontos hasonlósági transzformáció

Geometria transzformáció

Nagyítás-kicsinyítés

Adott a síkon egy O pont- ez a hasonlóság középpontja,

és k€R, k≠0 - ez a hasonlóság arányszáma

│k│>1 nagyítás

0˂│k│˂1 kicsinyítés,

k=1 egybevágósági transzformáció

k=-1 középpontos tükrözés

Ha a k szám negatív az O pontra tükrözni is kell!

Az O pont képe önmaga.

Bármely más P pont képe az a Pˈ, amelyre

d(O,Pˈ)=k*d(O,P) és a P, O, Pˈ pontok egy egyenesen vannak.

​

​

​

​

Tulajdonságok

• pont képe pont, P képe Pˈ
• egyenes képe egyenes, e képe eˈ, mindig párhuzamos a képével. Ha az eredeti egyenes átmegy az O ponton, a két egyenes egybeesik-egyenestartó
• szög képe vele egyenlő nagyságú szög;

α nagysága egyenlő αˈ- szögtartó

• szakasz képe k-szor olyan hosszú szakasz, mint az eredeti szakasz-aránytartó
• kör képe kör, sugara az eredeti sugár k-szorosa
• sokszög képe sokszög, e két sokszög megfelelő szögei egyenlők, megfelelő oldalai aránya megegyezik.

Tulajdonságok

• k=1 esetén minden pont fix pont
• Az O pontra illeszkedő egyenesek képe önmaga, ezek az invariáns egyenesek
• Az O pontra nem illeszkedő egyenes képe egy vele

párhuzamos egyenes

• Egyenestartó-bármely egyenes képe egyenes
• Párhuzamosságtartó-párhuzamos egyenesek képei is párhuzamosak
• Szögtartó- szög képe vele egyenlő nagyságú szög
• Aránytartó: bármely két szakasz aránya megegyezik a képeiknek az arányával
• Irányítástartó, tehát az alakzat irányítása megmarad

​

Hasonló alakzat

Két alakzat hasonló, ha van olyan középpontos hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikat viszi. Jele: ~

​

Két alakzatot hasonlónak mondunk, ha az egyik egy középpontos hasonlóság és egy egybevágósági transzformáció egymás után való elvégzésével a másikba vihető.

​

​

​

Két alakzat középpontosan hasonló, ha az egyik létrehozható a másikból középpontos hasonlósági transzformációval.

Háromszög kerület-terület aránya

két hasonló sokszög

• kerületének aránya a hasonlóságuk arányával (k-val),
• területének aránya a hasonlóságuk arányának négyzetével (k²) egyenlő.

hasonló testek

• felszínének aránya k²,
• hasonló testek térfogatának aránya k³

Kerületek aránya: k

Területek aránya: k²

Hasonlósági transzformáció

középpontos hasonlóság és egybevágósági transzformáció egymásutánját hasonlósági transzformációnak nevezzük.

​

A hasonlósági transzformáció aránytartó transzformáció. Minden hasonlóság előáll egy középpontos hasonlóság és egy egybevágósági transzformáció egymásutánjaként.

​

• a megfelelő szakaszok hosszának aránya egyenlő,
• a megfelelő szögek egyenlők,
• a megfelelő síkidomok területének aránya egyenlő a hasonlósági arány négyzetével.

Háromszögek hasonlósága

Alapesetek:

Ha két háromszögben

• két-két szög egyenlő nagyságú, (szögeik páronként egyenlőek)
• két-két oldal hosszának aránya és az általuk közbezárt szög nagysága egyenlő,
• a három oldal hosszának aránya páronként egyenlő,
• két-két oldal hosszának aránya és a nagyobbikkal szemben fekvő szög nagysága egyenlő,

Négyszögek hasonlósága

Két négyszög hasonló, ha oldalaik aránya

páronként egyenlő és a szögeik páronként

egyenlőek.

Haromszögek középvonalai

Definíció: A háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakasz a háromszög középvonala.

Minden háromszögben három középvonal van.

Tétel: A háromszögben a középvonal párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és a szemközti oldal hosszának a fele

a || k és a=2k

​

​

Háromszögek súlyvonalai

Definíció: A háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük.

​

Tétel: A háromszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást. Ez a pont mindig a háromszögön belül van.

A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja.

Tétel: A súlypont 2 : 1 arányban osztja el a súlyvonalat a háromszög csúcsától távolabbi osztópontban,