Статистические методы исследования

Я подготовил тезисы своего доклада, а вы подберите немного статистики, чтобы их обосновать.

Математическая статистика

Математическая статистика - область науки, изучающая случайные явления, разрабатывающая  математические методы систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

​

Составными частями математической статистики являются:

(1) описание данных,

(2) статистическое оценивание

(3) проверка статистических гипотез.

Замечания

• Статистические методы основаны на логике.
• Следует опасаться применения статистических методов без их глубокого понимания и без контекста, который может оказаться крайне важным.
• Только после постижения внутренней логики каждого из методов можно с уверенностью говорить о способности исследователя без труда применять статистику для изучения явлений.

Статистические данные

• Числовые → Числовая статистика
• Числовые статистические данные – это числа, вектора, функции. Их можно складывать, умножать на коэффициенты. Поэтому в числовой статистике большое значение имеют разнообразные суммы.
• Математический аппарат анализа сумм случайных элементов выборки – это (классические) законы больших чисел и центральные предельные теоремы

​

Статистические данные

• Нечисловые → Нечисловая статистика
• Нечисловые статистические данные – это категоризованные данные, вектора разнотипных признаков, бинарные отношения, множества, нечеткие множества и др. Их нельзя складывать и умножать на коэффициенты. Поэтому не имеет смысла говорить о суммах нечисловых статистических данных. Они являются элементами нечисловых математических пространств (множеств).
• Математический аппарат анализа нечисловых статистических данных основан на использовании расстояний между элементами (а также мер близости, показателей различия) в таких пространствах.

​

Переменные

• Данные (data) представляют собой результаты наблюдений, испытаний, накапливаемые с целью последующего изучения и анализа.
• Переменная, признак (variable) - это некоторая общая для всех изучаемых объектов характеристика или свойство, конкретные проявления которого могут меняться от объекта к объекту.
• Проявления признака называют значениями, показателями, альтернативами, градациями.
• Распределение переменной (distribution of the variable) - совокупность различных значений, которые переменная принимает для различных изучаемых объектов.

Определения

• Генеральная совокупность (population) - вся интересующая исследователя совокупность изучаемых объектов.

​

• Выборка, выборочная совокупность (sample) - некоторая, обычно небольшая, часть генеральной совокупности, отбираемая специальным образом и исследуемая с целью получения выводов о свойствах генеральной совокупности.

• Параметры (parameters) - числовые характеристики генеральной совокупности.

• Статистики (statistics) - числовые характеристики выборки.

• Гипотеза (hypothesis) - предположение относительно параметров генеральной совокупности, которое подлежит проверке на основе анализа выборки.

Роль статистики в проведении исследований

Измерение явлений

• Измерение (measurement) означает присвоение чисел характеристикам изучаемых объектов, явлений согласно некоторому правилу.
• Шкала (scale) есть правило или алгоритм, в соответствии с которым изучаемым объектам, явлениям присваиваются числа.

Типы данных

• Дискретные данные (discrete data) представляют собой отдельные значения признака, общее число которых конечно либо если бесконечно, то является счетным, т.е. может быть подсчитано натуральными числами от одного до бесконечности.
• Непрерывные данные (continuous data) могут принимать любое значение в некотором интервале.

Критерии измерений

• Надежность измерения (reliability) означает возможность получить согласующиеся результаты при повторных
• Достоверность измерения (validity) означает соответствие между результатами измерения и его целями, между выбранной шкалой и исследуемыми переменными. измерениях характеристик объекта.
• Завершенность измерения (exhaustive) означает, что в результате измерения мы должны получить какой-либо результат.
• Единственность измерения (mutually exclusive) означает, что в результате измерения мы�получим только одно значение переменной.

​

Представление данных

• Группировка
• Табулирование
• Ранжирование
• Распределение частот
• Интервальное распределения частот
• Статистические ряды
• Графическое представление данных

Меры центральной тенденции

• Мода - значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. (Мода = типичность.)

​

Mo

Меры центральной тенденции

• Медиана - число, которое находится в середине этого набора, если его упорядочить по возрастанию.

медианой набора {11, 9, 3, 5, 5} является число 5, так как оно стоит в середине этого набора после его упорядочивания: {3, 5, 5, 9, 11}.

Рассмотрим финансовое состояние 19 малоимущих, у каждого из каких есть только 5 р, и одного миллионера, у которого буквально 1 млн р. Тогда в сумме у них получается 1 000 095 ₽. Если деньги равными долями разделить на 20 человек, получится 50 004,75 р. Это будет среднее арифметическое значение суммы денег, которая была у всех 20 человек в этой комнате.

Медиана же будет равна 5 ₽ (сумма «расстояния» от этой величины до состояния каждого из рассматриваемых людей минимальна). Это можно интерпретировать следующим образом: «разделив» всех рассматриваемых людей на две равные группы по 10 человек, мы получаем, что в первой группе у каждого не больше 5 ₽, во второй же — не меньше 5 ₽.

Md

Меры центральной тенденции

• Среднее арифметическое значение - разновидность среднего значения. Определяется как число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество. Является одной из наиболее распространённых мер центральной тенденции.

Генеральная совокупность

• это теоретически бесконечно большая или приближающаяся к бесконечности совокупность всех элементов, которые могут быть к ней отнесены. Естественно, изучить все элементы генеральной совокупности не представляется возможным, поэтому для ее описания используют выборку.

Выборка

• это случайно отобранные единицы генеральной совокупности, достаточные для того, чтобы в ней были выражены существенные черты изучаемого распределения.

Подбор выборки

• Подобрать выборку, которая полностью повторяет все особенности генеральной совокупности, невозможно. Поэтому при организации исследования необходимо стремиться, чтобы выборка сохраняла наиболее существенные для данного исследования характеристики генеральной совокупности. Это приведет к наименьшей потере информации.

Ошибки

Ошибка выборки

• отклонение средних характеристик выборочной совокупности от средних характеристик генеральной совокупности. Иными словами, всегда присутствует вероятность выхода средних значений исследуемого признака за пределы установленного доверительного интервала (в медико-биологических исследованиях — за пределы 95% доверительного интервала).

Минимальная выборка

• Ошибка выборки является случайной и всегда связана с ее объемом — числом наблюдений n, которые образуют выборку. Как правило, объем выборки n значительно меньше объема всей генеральной совокупности. При этом чем больше объем выборки, тем ниже случайная ошибка выборки.

Минимальная выборка

• Минимизировать случайную ошибку выборки возможно путем расчета минимального допустимого объема выборки.

Статистический метод определения объема безповторной выборки

​

• где n – объем выборки,
• σ – стандартное отклонение,
• N – объем генеральной совокупности,
• α – предельная ошибка репрезентативности, задается обычно в пределах от 0,01 до 0,10 с наиболее частым употреблением 0,05 (5%);
• t – табулированная константа, табличные значения этой величины следующие: t=1,96, при α=0,05; t=2,58, при α=0,01.

Минимальная выборка

https://www.files.pimunn.ru/almanakh/help/%D0%91%D0%B0%D0%B2%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B03.pdf

Средняя ошибка выборки, дисперсия, предел ошибки

Пример – среднее значение

• Допустим, получены следующие результаты: 35, 33, 38, 34, 35, 36, 37, 35, 34, 33 (n = 10).
• Рассчитаем среднее значение:

Пример - дисперсия

Пример – средняя ошибка

Пример – средняя ошибка

Определение t-критерия Стьюдента

t=2,3

Определение предельной ошибки

• Доверительный интервал (95% ДИ) будет иметь следующий вид:

Классификация задач

1. Выявление различий в уровне исследуемого признака
2. Оценка сдвига значений исследуемого признака
3. Выявление различий в распределении признака.
4. Выявление степени согласованности изменений
5. Анализ изменений признака под влиянием контролируемых условий
6. Методы многомерного анализа

Пример методов

• ϕ коэффициент корреляции Пирсона
• τ - коэффициент корреляции Кендалла
• R – бисериальный коэффициент корреляции
• η - корреляционное отношение Пирсона
• rS - коэффициент ранговой корреляции Спирмена
• rxy - коэффициент линейной корреляции Пирсона
• Множественная и частная корреляция
• Линейная, криволинейная и множественная регрессия
• Факторный и кластерный анализы

​

​

Пример методов для определения связи между переменными

Корреляционный анализ

​

Линейная отрицательная связь

Криволинейная связь

Линейная положительная связь

Случайная связь

• Степень (сила или теснота) корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции, обозначающегося часто как r.
• -1 ≤ r ≤ +1.
• Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции /r/.
• Если коэффициент корреляции по модулю оказывается близким к 1, то это соответствует высокому уровню связи между переменными.

Пример

• r= 0,67
• r= 0,12
• r= 0,98
• r= -0,67
• r= -0,13
• r= 0,79

?

• r0,05= 0,69
• r0,01= 0,89

• r0,01= 0,78

Общая классификация

Частная классификация

https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/93367/1/%d0%a1%d1%82%d0%b0%d1%82.%d0%b0%d0%bd%d0%b0%d0%bb%d0%b8%d0%b7.pdf

https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/231678/1/zhukova_minets.pdf

https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/194100/1/%d0%9f%d0%be%d1%81%d0%be%d0%b1%d0%b8%d0%b5_%d0%a1%d1%8b%d1%81%d0%b0.pdf

https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/93367/1/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82.%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7.pdf