2ª SÉRIE
1º Bimestre - 2025
MATEMÁTICA
POLÍGONOS
Conhecemos como figura plana qualquer figura que possui duas dimensões, ou seja, podem ser inscritas em um plano. Existem diversas figuras planas e essas figuras são diferenciadas em polígonos e não polígonos.
Polígonos são figuras geométricas planas compostas pela união de uma linha poligonal fechada formada por segmentos de reta consecutivos, não colineares e que se fecham.
Obs: A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono.
Não polígonos são figuras geométricas planas que não são totalmente delimitadas por segmentos de retas. Elas podem ser abertas ou fechadas.
Veja alguns exemplos de polígonos:
Classificação dos Polígonos
Os polígonos são classificados em convexos e não-convexo (côncavos).
Polígonos são convexos quando, dados dois pontos quaisquer, o segmento que os une está totalmente contido em seu interior.
Polígonos são não-convexos (côncavos) quando, dados dois pontos quaisquer, o segmento que os une não está totalmente contido em seu interior.
Os polígonos são nomeados de acordo com o número de lados. Veja a nomenclatura de alguns dos polígonos mais conhecidos.
Exemplo:
Calcular a quantidade de diagonais dos polígonos, a seguir.
1. Classifique cada figura, a seguir, como polígono convexo (C) e não convexo (NC).
2. Um heptágono é um polígono com 7 lados e 7 vértices. A partir desses dados, faça o que se pede:
I. A partir de apenas um vértice, trace as diagonais.
II. Subtraia 3 do número de vértices do heptágono.
III. Multiplique esse resultado pela quantidade de vértices.
IV. Divida o produto por dois.
V. Qual foi o resultado obtido?
VI. Utilize a fórmula para determinar o número de diagonais e compare o resultado com o obtido no passo V.
3. Calcule o número de diagonais dos polígonos, a seguir.
a) Octógono.
b) Eneágono.
c) Undecágono.
4. Sete cidades estão dispostas de modo que representam os vértices de um polígono convexo. Essas cidades estão interligadas, duas a duas, por apenas uma estrada. Quantas estradas, ao total, ligam essas sete cidades?
Item 1: Em um polígono convexo o número de diagonais é quatro vezes maior que o número de lados.
Quantos lados esse polígono possui?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
Item 2: Um polígono convexo tem 44 diagonais. Se adicionarmos um vértice a esse polígono, formaremos um novo polígono convexo.
Quantas diagonais haverá nesse novo polígono?
(A) 45
(B) 48
(C) 52
(D) 54
(E) 60
ÂNGULOS NO POLÍGONO CONVEXO
Observe o triângulo ABC, a seguir:
Polígonos regulares
São polígonos convexos que possuem todos os lados com mesma medida e todos os ângulos congruentes.
Exemplo:
Qual é o valor de cada ângulo interno de um octógono regular?
6. Efetue a soma dos ângulos internos dos seguintes polígonos.
a) Eneágono.
b) Dodecágono.
7. Calcule a medida de cada ângulo externo dos polígonos regulares, a seguir.
a) b)
9. Ao escolher um único vértice de um decágono regular traçam-se as diagonais de modo que o ângulo interno, nesse vértice, seja dividido em ângulos menores e congruentes.
Qual é a medida de cada ângulo interno formado, neste vértice?
(A) 10°
(B) 15°
(C) 18°
(D) 22°
(E) 36°
Item 2: O ângulo externo de um polígono regular mede 24°.
Qual é a medida de cada ângulo interno desse polígono?
(A) 48°
(B) 72°
(C) 144°
(D) 156°
(E) 168°
PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS
O perímetro é a medida do comprimento do contorno da figura, parte fundamental no estudo de figuras planas.
Quando se trabalha com os polígonos, o perímetro é calculado através da soma das medidas de todos os lados.
Exemplos:
Exemplos:
Para encontrar o perímetro de um polígono, o valor de todas as medidas de seus lados devem estar na mesma unidade de medida.
As unidades de comprimento utilizadas no SI (Sistema Internacional de medidas) são: quilômetro (km), o metro (m), o centímetro (cm), milímetro (mm), decímetro (dm), decâmetro (dam) e hectômetro (hm).
É possível fazer conversões entre essas unidades.
Exemplos:
1 m equivale a 10 dm
300 m equivalem a 0,3 km
5000 mm equivalem a 500 cm
1,4 dam equivale a 14 m
10. Calcule o perímetro, em centímetros, de cada polígono.
11. Fernanda reservou em sua chácara, um terreno retangular para plantar uma horta. Para cercá-lo, ela usou 5 fios de arame e uma porta de madeira com 1 metro de largura.
A quantidade mínima de arame, em metros, utilizada por Fernanda foi igual a
(A) 100.
(B) 104.
(C) 125.
(D) 126.
(E) 130.
13. Calcule o perímetro de cada figura.
a) b)
c) d)
14. A London Eye, também conhecida como Roda do Milênio, é uma roda-gigante situada na capital inglesa com diâmetro medindo 443 pés. Sabe-se que 1 pé equivale a 30,48 centímetros.
O comprimento da circunferência desta roda gigante, em metros, é aproximadamente igual a
(A) 42,39. (C) 211,99. (E) 423,98.
(B) 135,03. (D) 347,02.
Item 1: Em um terreno retangular, o comprimento é o triplo da largura. Se a largura aumentar 5 metros e o comprimento diminuir 10 metros, o perímetro do novo retângulo será de 62 metros.
A largura e o comprimento, em metros, do retângulo original, são
(A) 9 e 27. (D) 15 e 16.
(B) 11 e 25. (E) 18 e 13.
(C) 14 e 17.
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Para encontrar fórmulas que expressem as áreas de algumas figuras planas, através de suas dimensões, é necessário ter como ponto de partida um quadrado unitário: por definição, dizemos que a área de um quadrado de lado 1 cm é igual a 1 cm² (lê-se um centímetro quadrado).
Partindo disso, vamos considerar um retângulo cujos lados medem 2 cm e 3 cm. Assim, a cada centímetro temos retas perpendiculares aos lados, de modo que o retângulo fique dividido em 6 quadrados de lado 1 cm.
Desse modo, a área deste retângulo é igual 6 cm² .
Veja outros casos de paralelogramos:
Exemplo:
Observe o paralelogramo ABCD e o triângulo ABC, inscritos no plano cartesiano.
Como a base e a altura do paralelogramo medem 6 e 5 unidades, respectivamente, sua área é 30 um.².
Já o triângulo tem a base e altura congruentes ao do paralelogramo, porém, sua área representa a metade da área do paralelogramo, ou seja, 15 um.².
Veja os casos mais comuns para se calcular a área de um triângulo:
1. Calcule a medida da área delimitada por cada paralelogramo, a seguir.
2. Calcule a medida da área de cada região, a seguir.
3. Considere a região triangular, a seguir.
Agora, responda:
a) Utilizando a fórmula de Heron, calcule a área dessa região triangular.
b) Calcule a área determinada por esse triângulo de outra maneira.
c) Há alguma diferença entre os resultados das alternativas anteriores? Justifique.
4. (ENEM 2023) Na planta baixa de um clube, a piscina é representada por um quadrado cuja área real mede 400 m². Ao redor dessa piscina, será construída uma calçada, de largura constante igual a 5 m.
Qual é a medida da área, em metro quadrado, ocupada pela calçada?
(A) 1000
(B) 900
(C) 600
(D) 500
(E) 400
5. (ENEM 2024) O estádio do Maracanã passou por algumas modificações estruturais para a realização da Copa do Mundo de 2014, como, por exemplo, as dimensões do campo retangular. Para se adaptar aos padrões da Fifa, as dimensões do campo foram reduzidas de 110 m x 75 m para 105 m x 68 m.
Disponível em: http://virgula.uol.com.br. Acesso em: 14 ago. 2013 (adaptado).
Em quantos metros quadrados a área do campo do Maracanã foi reduzida?
(A) 24
(B) 35
(C) 555
(D) 1110
(E) 1145
Item 1: Na malha quadriculada, a seguir, cada quadrado vale 1 cm².
A área da figura desenhada, em cm², mede
(A) 23 (C) 25 (E) 29
(B) 24 (D) 26
6. Calcule a medida da área delimitada pelo losango.
7. Calcule a medida da área delimitada pelo trapézio, a seguir.
9. Para reformar o banheiro de sua casa, Eva utilizou 60 peças de porcelanato, em formato de losangos, cujos lados medem 30 cm e a diagonal maior mede 48 cm.
Qual é a área, em m², reformada por Eva?
(A) 1,728
(B) 3,456
(C) 4,320
(D) 5,184
(E) 8,640
10. A medida do diâmetro do semicírculo, em destaque, é coincidente com a base menor do trapézio de área igual a 26 m².
A medida do raio, em metros, do semicírculo é de
(A) 2,5. (D) 4,0.
(B) 3,0. (E) 5,0.
(C) 3,5.
Item 1: Um losango de área 90 cm² possui a diagonal menor medindo 12 cm.
Qual é a medida de sua diagonal maior?
(A) 6 cm
(B) 7,5 cm
(C) 10 cm
(D) 12 cm
(E) 15 cm
Item 2: “Pivô Central” é um sistema de irrigação que opera com a capacidade de cobrir uma plantação, em formato circular, utilizando duas tubulações conforme imagem, a seguir.
O maquinário de um certo tipo de pivô ocupa uma área circular de 8 metros de diâmetro, para seu funcionamento. As duas tubulações, que saem do centro da área, medem 45 metros de comprimento.
https://www.comprerural.com/pivo-central-entenda-tudo-sobre-esse-sistema-de-irrigacao/
AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE FIGURAS
Observe os quadriláteros ABCD e A´B´C´D´, a seguir:
Temos dois tipos de transformações: isométricas e homotéticas.
As transformações de isometria são aquelas nas quais a forma e as medidas não são alteradas. Assim, a figura transformada é congruente à original.
As transformações de homotetia são aquelas em que a forma é mantida, mas as medidas dos lados são ampliadas ou reduzidas. Assim, a figura transformada é semelhante à original.
Na figura, a seguir, o triangulo A’B’C’ foi obtido através de uma homotetia de ampliação do triângulo ABC.
Note que a forma é mantida, mas as medidas dos lados se alteram na mesma razão, ou seja, a medida de cada lado do triângulo A’B’C’ é o dobro da medida do lado do triângulo ABC.
Na figura, a seguir, o quadrado A’B’C’D’ foi obtido através de uma homotetia de redução do quadrado ABCD.
A medida de cada lado do quadrado A’B’C’D’ é a metade da medida do lado do quadrado ABCD.
12. Cada quadradinho da malha quadriculada, a seguir, tem lado medindo 3 cm.
Agora responda o que se pede:
a) Qual é o perímetro do polígono 1?
b) Qual é o perímetro do polígono 2?
c) Qual é a razão entre os perímetros dos polígonos 2 e 1? O que essa razão significa?
d) Qual é a área do polígono 1?
e) Qual é a área do polígono 2?
f) Qual é a razão entre as áreas dos polígonos 2 e 1? O que essa razão significa?
13. Inácio está testando um software capaz de realizar transformações de homotetia, no plano cartesiano, apenas digitando o valor do comando. Observe os comandos do software:
Em um certo momento ele não observou qual foi o comando dado e alterou o tamanho do quadrilátero ABCD, conforme a figura, a seguir:
Responda:
a) Qual foi o valor digitado por Inácio?
b) Quais são as coordenadas do novo quadrilátero formado?
Item 1: Observe o trapézio, a seguir.
Deseja-se ampliar a medida de seus lados em 7 vezes.
Qual será a área do novo trapézio?
(A) 98 (B) 168 (C) 336 (D) 539 (E) 686
Item 2: Um engenheiro representou um terreno retangular, com dimensões de 16 metros de comprimento e 8 metros de largura, em um projeto onde as medidas reais foram reduzidas 25 vezes.
Qual é a área, em cm², do retângulo representado no projeto?
(A) 512
(B) 1024
(C) 1280
(D) 2048
(E) 2560
No pentágono, é possível formar 5 triângulos isósceles congruentes.
No hexágono, é possível formar 6 triângulos equiláteros congruentes.
POLIEDROS
Poliedros são sólidos geométricos formados apenas por faces planas poligonais. Os elementos principais de um poliedro são: faces, arestas e vértices.
Fonte: https://escolaeducacao.com.br/elementos-de-um-poliedro/. Acesso em 11 de jun. 2023
Os poliedros são divididos em duas categorias principais: os prismas e as pirâmides.
E, como suas faces são polígonos, pode-se determinar a área de sua superfície.
Exemplo:
Observe uma parte da sala de Júlia, onde o teto e o chão possuem o formato de um hexágono regular.
https://scratch.mit.edu/projects/1082845024/editor/
Ela pretende colocar papeis de parede, nas laterais desta sala. A altura da sala é 2,3 metros e cada lado do teto mede 2 metros. Quantos metros quadrados de papel de parede Júlia precisará?
Observe o paralelepípedo reto planificado,
É um poliedro que possui faces retangulares e ortogonais (formam ângulos retos em seus vértices).
7. Observe as dimensões de um tijolo com formato de um paralelepípedo reto.
Calcule a área total de sua superfície.
8. Um assento conhecido como “puff” tem o formato de um cubo, cujas arestas medem 8 decímetros cada. Sabe-se que 5 faces do “puff” são revestidas com tecido sintético, enquanto uma face possui uma tela de proteção. Qual é a área da superfície revestida pelo tecido sintético?
Disponível em: www.tokstok.com.br. Acesso em: 24 mar. 2023.
9. Eloy é um engenheiro encarregado de projetar, para um parque florestal, um novo tipo de torre de observação. A torre terá o formato de um prisma triangular para maximizar a visão panorâmica do parque. A altura da torre é ortogonal ao plano da base. Veja o esboço do projeto:
Agora responda:
a) Qual será a área total da superfície dessa torre?
b) Ele irá pintar a parte externa da torre. Sabendo que a cada 48 m² gasta-se R$ 500,00 com materiais de pintura, qual será o valor total gasto por Eloy no projeto?
Item 1: Um prisma de base quadrada tem arestas da base medindo 7 cm e altura medindo 14 cm.
Qual é a área total, em cm², deste prisma?
(A) 338 (B) 422 (C) 441 (D) 490 (E) 588
Item 2: Um losango de diagonais medindo 6 cm e 8 cm é a base de um prisma, cuja altura é 10 cm.
Qual a área total, em cm², deste prisma?
(A) 144 (B) 248 (C) 348 (D) 480 (E) 496
PIRÂMIDES
A pirâmide é caracterizada por uma base poligonal e faces laterais formadas por regiões triangulares, com um vértice comum (ápice).
Exemplo:
Assim como os prismas, as pirâmides são nomeadas de acordo com o polígono da base, ou seja, se a base da pirâmide for um triângulo, ela é chamada de pirâmide triangular, se a base da pirâmide for quadrilátero, é chamada de pirâmide quadrangular e, assim, sucessivamente.
Uma pirâmide é regular se sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do ápice sobre a base passa pelo centro da base formando um ângulo reto com o plano da base e, suas faces laterais, são formadas por triângulos congruentes.
Na pirâmide reta temos dois apótemas. Veja:
É importante ficar atento ao polígono que forma a base da pirâmide pois, as faces laterais sempre serão formadas por triângulos.
12. A figura, a seguir, representa uma pirâmide regular.
Calcule a área total da superfície.
13. (ENEM 2016 – Reaplicação/PPL) A figura mostra a pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Quéops seja regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m.
O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metro, é
(A) 97,0.
(B) 136,8.
(C) 173,7.
(D) 189,3.
(E) 240,0.
Disponível em: www.mauroweigel.blogspot.com. Acesso em: 23 nov. 2011.
Item 1: Um tetraedro, é uma pirâmide onde todas as faces são congruentes.
Qual das figuras, a seguir, representa este tetraedro planificado?
Item 2: Uma pirâmide regular tem uma base quadrada, com lados de 6 metros, e arestas laterais de 5 metros.
Qual é a área total da superfície desta pirâmide?
(A) 90 m²
(B) 84 m²
(C) 78 m²
(D) 72 m²
(E) 66 m²