Модели оптимального планирования
Оптимизационные задачи
С древних времен человека интересовали задачи связанные с отысканием наименьших и наибольших величин. �
В XX веке при огромном размахе производства и осознании ограниченности ресурсов Земли стала актуальной задача оптимального использования энергии, материалов, рабочего времени.
Многие задачи сводятся к отысканию наименьшего или наибольшего значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией или критерием качества. �
Задачи оптимизации могут быть успешно решены с помощью компьютера. Они решаются по обычной схеме:
�- Составление математической модели,
Школьный кондитерский цех готовит пирожки и пирожные.
В силу ограниченности:
�- За день можно приготовить не более 700 штук изделий. �- Рабочий день в кондитерском цехе длится 8 часов. �- Производство пирожных более трудоемко, поэтому если выпускать только их, за день можно произвести не более 250 штук, пирожков же можно произвести 1000 штук (если при этом не выпускать пирожных).
- Стоимость пирожного вдвое выше, чем стоимость пирожка.
Требуется составить такой дневной план производства, чтобы обеспечить наибольшую выручку кондитерского цеха.
Пример задачи
Пример задачи
• х — дневной план выпуска пирожков; �• у — дневной план выпуска пирожных.
Ресурсы производства: �• длительность рабочего дня — 8 часов; �• вместимость складского помещения — 700 мест.
Получим соотношения, следующие из условий ограниченности времени работы цеха и вместимости склада.
На изготовление 1 пирожного - в 4 раза больше времени.
Пусть t – (мин) время на приготовление 1 пирожка �tx + 4ty = (х + 4y)t.
Ограничение - не больше рабочего дня – 8*60.�(х + 4y)t ≤ 8 • 60, или (х + 4y)t ≤ 480.
На один пирожок тратится 480/1000 = 0,48 мин
(х + 4у) • 0,48 ≤ 480 или х + 4у ≤ 1000.
Имеется ограничение на общее число изделий
х + у ≤ 700.
Целевая функция. Формализация задачи
Выручка — это стоимость всей проданной продукции. Пусть цена одного пирожка — r рублей. По условию задачи, цена пирожного в два раза больше, т. е. 2r рублей. Отсюда стоимость всей произведенной за день продукции равна
rх + 2rу = r(х + 2у).
Целью производства является получение максимальной выручки. Будем рассматривать записанное выражение как функцию от х, у:
F(x, у) = r(х + 2у). - Она называется целевой функцией.
Т.к. r — константа, максимальное значение F(x, у) будет достигнуто при максимальной величине выражения (х + 2у). Поэтому в качестве целевой функции можно принять f(x, у) = х + 2у.
Получение оптимального плана свелось к следующей математической задаче:
Требуется найти значения плановых показателей х и у, удовлетворяющих данной системе неравенств и придающих максимальное значение целевой функции.
х + 4у = 1000,
х + у = 700,
х = 0 (ось У).
у = 0 (ось X)
Искомым решением является та точка области ABCD, в которой целевая функция максимальна. Нахождение этой точки производится с помощью методов линейного программирования.
В математическом арсенале Excel имеется средство для решения подобных задач - Поиск решения.
Практическая работа (задание 3.6. стр. 216)
Подключение надстройки «Поиск решения»
Перед первым использованием необходимо предварительно включить надстройку.
В выпадающем списке Файл – Параметры – Надстройки выбрать Надстройки Excel и нажать на кнопку Перейти…
Поставить флажок перед Поиск решения в списке доступных надстроек диалогового окна Надстройки и нажать OK.
Ввод значений для поиска решения
Результаты поиска решения
Нажать!
Результаты решения задачи
Решение