Вер͞оя́тн͞ость с͞овме́стных и нес͞овме́стных с͞обы́тий.
�Определение вероятности.�Вероятность события А — это отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу несовместных элементарных исходов, которые образуют полную группу:�P(A) = m / n,�где m— число элементарных исходов, которые благоприятствуют А;�n — число всех возможных элементарных исходов испытания.
События бывают:
досто-
верные
слу-
чайные
невоз-
можные
1. ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА.
2. ПОСЛЕ НОЧИ ПРИХОДИТ УТРО.
3. КАМЕНЬ ПАДАЕТ ВНИЗ.
4. ВОДА СТАНОВИТСЯ ТЕПЛЕЕ ПРИ НАГРЕВАНИИ.
1. НАЙТИ КЛАД.
2. БУТЕРБРОД ПАДАЕТ МАСЛОМ ВНИЗ.
3. В ШКОЛЕ ОТМЕНИЛИ ЗАНЯТИЯ.
4. ПОЭТ ПОЛЬЗУЕТСЯ ВЕЛОСИПЕДОМ.
5. В ДОМЕ ЖИВЕТ КОШКА.
2. ПРИ ПОДБРАСЫВАНИИ КУБИКА ВЫПАДАЕТ 7 ОЧКОВ.
3. ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ С КАЖДЫМ ДНЕМ МОЛОЖЕ.
���Следовательно, можно записать следующие� три свойства.�1. Вероятность достоверного события равна единице. Следовательно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию, тогда m = n, и �Р(A) = m / n = n / n = 1.��2. Вероятность невозможного события равна нулю. Следовательно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию, тогда m = 0, и �Р (А) = m / n = 0 / n = 0.��3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Следовательно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания, тогда 0 < m < n, стало быть, �0 < m / n < l, и�0 < Р (А) < 1 и 0≤ Р (А)≤ 1.
Типы событий
если они могут произойти́ ͞одн͞овреме́нно в ͞одно́м испыта́нии.
�
Пример. А – «идет дождь», � В – «на небе нет ни облачка»� – несовместные.
Пример. Коля и Саша играют в шашки.� А – «Коля проиграл», � В – «Саша выиграл», � С – «Витя наблюдал за игрой»� – совместные. �
Сумма двух и сумма нескольких событий.
Если имеются два события А и В, то объединение случаев, когда отдельно происходит А, отдельно происходит В, а также одновременно А и В, называют суммой двух событий — А+B.
Рассмотрим случай, когда имеются два несовместных события А, В и нужно найти вероятность появления события состоящего в наступлении либо любого одного из них, либо обоих сразу, если вероятности выполнения данных событий по отдельности известны.
Теорема сложения для несовместных событий
Вероятность того, что наступит одно из двух несовместных событий, при этом не важно какое именно из них, равняется сумме их вероятностей:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Пример 1: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.��Решение: Появление цветного шара означает появление …. �Соб. А – появление красного шара. Вероятность появления соб. А: Р(А)=�Соб. В – появление синего шара. Вероятность появления соб. В: Р(В) =�События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. ��Искомая вероятность: Р(А+В)= Р(А)+Р(В)=.
Стрелок производит выстрел по мишени. Мишень разделена на три части. Вероятность попасть в первую часть составляет 0,25. Вероятность поразить вторую часть 0,35. Необходимо узнать, какова вероятность, что стрелок попадёт в мишень, но не попадёт в третью её часть.
Чтобы выполнилось это условие, пуля должна поразить либо первую часть, пусть это будет событие А, Р(А)=….;
либо во вторую часть, это событие назовём В и его вероятность Р(В)=….
События А и В не являются совместными, значит можно применить теорему сложения для несовместных событий. Получаем следующее выражение:Р=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=
4.На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Окружность», равна 0,21. Вероятность того, что это вопрос по теме «Углы», равна 0,33. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 0,21 + 0,33 = 0,54
Решение задач на теорему сложения вероятностей
несовместных событий.
События
Совместные
Произойдёт И одно событие, И второе.
Они произойдут вместе, одновременно
Несовместные
Произойдёт ИЛИ одно событие, ИЛИ другое.
Вместе они НИКОГДА не наступят
Для несовместных событий
Р(А+В) = Р(А) + Р(В)
Вероятность суммы несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий.
Задача 1.
В детской игре «Лото- Животные» имеются 4 карточки с 6 картинками животных, обитающих в разных климатических зонах: Тропики, Северный полюс, Пустыня и Океан. Во время игры достают по одной фишке с изображением животного.
Найдите вероятность, что вытянутая фишка будет с изображением животного, обитающего в Пустыне или в Тропиках.
Задача 2.
На белом игровом поле игры «Твистер» расположены 4 ряда по 6 больших кругов определенного цвета: красного, желтого, синего и зеленого.
Рулетка – плоская доска со стрелкой разбита на 4 сектора, каждый из которых соответствует определенной конечности (левая рука, правая нога и т.д.). Сектора разделены на 4 цветовые секции в соответствии с цветами кругов на игровом поле. Вращая стрелку, получаем комбинацию.
Найдите вероятность , что выпадет комбинация :
а)«левая рука - желтый цвет» или «правая рука – желтый цвет»;
б)«правая рука - зеленый цвет» или «правая нога – зелёный цвет»;
в)«правая рука - красный цвет» или «левая нога – синий цвет».
С- событие «выпадает комбинация «левая рука - желтый цвет» ;
В - событие «выпадает комбинация «правая рука - желтый цвет» .
Р(С) =
Р(В) =
Р(С+В) =
Ответ:
Задача 3.
Цель в игре детский дартс разделена на три зоны (кольца). Вероятность того, что игрок попадет в первую зону цели равна 0,21;
вероятность попадания во вторую зону – 0,29;
в третью зону – 0,35.
Найдите вероятность того, что игрок попадет
в цель и вероятность того, что игрок промахнется.
К – событие «игрок попадет в цель»,
Р(К) =
Вероятность события, противоположного событию К, «что игрок промахнется», равна :
Ответ:
Задача 4.
В игре «Лото» из мешочка достают по одному бочонку с номерами от 1 до 90. Какова вероятность того, что номера выбранных из мешка бочонков будут:
а) меньше 10 или больше 80;
б) кратны 11 или кратны 13.
Ответ округлите до сотых.
Решение:
а) Н – событие «выпадают номера меньше 10 -
М - событие «выпадают номера больше 80 -
Т - событие «выпадают номера меньше 10 или больше 80 »
Р(Т) = Р(Н) + Р(М) =
б) С – событие «выпадает номера кратные 11:
В - событие «выпадает номера кратные 13:
Р(С) =
Р(В) =
Вероятность события «выпадают номера кратные 11 или кратные 13» равна:
Ответ:
Задача 5.
В игре «Домино» 28 косточек. На каждой с двух сторон изображены очки (точки) от 0 до 6. Какова вероятность, что вытянут косточку с суммой очков:
а) равную 2 или 3;
б) больше 4, но меньше 9.
Ответ округлите до сотых.
Решение:
а) S – событие «выпадает сумма очков равная 2»;
C - событие «выпадает сумма очков равная 3»;
Р(S) = P(C) = P(S+C) =
б) В - событие «выпадает сумма очков равная 5»;
D - событие «выпадает сумма очков равная 6»;
R - событие «выпадает сумма очков равная 7»;
T - событие «выпадает сумма очков равная 8»;
Р(В) =
P(D) =
P(R) =
P(T) =
P(B+D+R+T) =
Задача 6
На тестировании по географии ученик решает задачи:�- вероятность того, что он верно решит больше 10 задач, равна 0,67;�- вероятность того, что он верно решит больше 9 задач, равна 0,75.�Найдите вероятность того, что ученик верно решит ровно 10 задач.
1) Пусть событие А – ученик верно решит РОВНО 10 задач, Р(А) - ?
событие В – ученик верно решит больше 10 задач, Р(В) =
2) Р(А+В) = 0,75 (т.к. то, что ученик решит больше 9 задач УЖЕ показывает, что он решит и больше 10 задач тоже);
3) По формуле сложения вероятностей
Р(А+В) = Р(А) + Р(В), откуда
Р(А) = Р(А+В) – Р(В) =
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Окружность», равна 0,21. Вероятность того, что это вопрос по теме «Углы», равна 0,33. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся верно решит больше 11 задач, равна 0,67.
Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74.
Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ)
Задача .
Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго – 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадёт хотя бы один спортсмен?
Решение: Обозначим события:
А - в мишень попадёт хотя бы один спортсмен;
А1 – в мишень попадёт первый спортсмен;
А2 – в мишень попадёт второй спортсмен.
Очевидно, что А=А1+А2 и события А1 и А2 – совместные.
Р(А)=Р(А1+А2)=Р(А1)+Р(А2)-Р(А1А2)=
Ответ:
��Пример 2: Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны р1=0,7 и р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий. ��Решение: Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. �Вероятность события А*В (оба орудия дали попадание)�Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=�Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=�
На тестировании по географии ученик решает задачи:�- вероятность того, что он верно решит больше 10 задач, равна 0,67;�- вероятность того, что он верно решит больше 9 задач, равна 0,75.�Найдите вероятность того, что ученик верно решит ровно 10 задач.
Рассмотрим события A = «учащийся решит 10 задач»
и В = «учащийся решит больше 10 задач».
сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 9 задач».
События A и В несовместные, вероятность их суммы равна
сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Тогда, используя данные задачи, получаем:
В урне 3 красных и 4 белых шара, 5 красных, 2 белых и 6 черных кубов. Из урны наудачу вынимается одно изделие. Найти вероятность того, что выбранное изделие а) либо белое, либо черное; б) либо красное, либо куб.
Решение. а) Рассмотрим события:
А - изделие белое; Р(A) = В - изделие черное, Р(B ) =
Событие С - изделие либо белое, либо черное можно представить
как сумму событий А и В.
Следовательно, Р(C) = Р(А + В).
События А и В несовместны, так как вынутое изделие не может быть
одновременно и белым и черным. Тогда
Р(C) = Р(А + В) = Р(А) + Р(B) =
В урне 3 красных и 4 белых шара, 5 красных, 2 белых и 6 черных кубов. Из урны наудачу вынимается одно изделие. Найти вероятность того, что выбранное изделие а) либо белое, либо черное; б) либо красное, либо куб.
Решение.
б) Введем события
D - изделие красное; Р(D)= Е - изделие куб; Р(E)=
F - изделие либо красное, либо куб; Р(F) = Р(D + Е).
События D и Е совместны, так как вынутое изделие
может оказаться красным кубом Р(D • Е) = .
Тогда
P(F) = P(D + E) = P(D) + P(E) - P(D • E) = .