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ESCUELA POLITÈCNICA NACIONAL

Facultad de Geologìa y Petróleos

Matemàtica Avanzada

Grupo 2

Mayelin Cabascango

Eduardo Cardenas

16-12-15

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SERIES DE FOURIER

EVALUACIÒN DE LOS COEFICIENTES
APROXIMACIÒN MEDIANTE UNA SERIE FINITA DE FOURIER
CONVERGENCIA
SERIE DE FOURIER DE LA FORMA COMPLEJA

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SERIES DE FOURIER

Cualquier función periódica, con periodo T , se puede representar como suma de sinusoides de frecuencias f, 2f, 3f,. . . , llamadas armónicos.

Si f(t) : R → R es una función periódica con periodo T , la serie de Fourier de f(t) es :

Donde :

La frecuencia angular fundamental es ω0 = 2π /T

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En donde si se reemplaza la frecuencia angular fundamental en la serie trigonométrica de Fourier se obtiene:

�

Donde:

Los términos ao, an, bn representan los coeficientes de la serie de Fourier.

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EVALUACIÒN DE LOS COEFICIENTES

Mediante la relación de ortogonalidad del conjunto de funciones

Podemos evaluar los coeficientes: a₀, a_n, b_n de la serie de Fourier.

Donde (frecuencia angular fundamental)

En efecto: integrando la ecuación (1) de

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Debido a que la serie de Fourier consta de dos términos un seno y un coseno se dice que:

Como la función seno (nω0t) es una función IMPAR para todo n, y la función coseno (nω0t) es una función PAR para todo n ,ENTONCES

SI f ( t ) = f ( -t ) FUNCIÓN PAR

SI f( -t ) = -f ( t ) FUNCIÓN IMPAR

Si la función f(t) no está definida como función par y tampoco está definida como función impar, se debe hallar an y bn por medio de las fórmulas antes expuestas.

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Hallar la serie de Fourier de la función dada por f (t)= (-1)^[|t|]

Solución :

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APROXIMACIÒN MEDIANTE UNA SERIE FINITA DE FOURIER

Se puede ver que la expresión de la descomposición de la serie de Fourier es una sumatoria que incluye un número ilimitado de elementos, el análisis se reduce a la ponderación de cada uno de ellos haciendo que el estudio se limite a un número limitado de componentes.

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Ejemplo 2:

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CONVERGENCIA

Sea f(x) una funciòn definida para todo x, con periodo 2π. Entonces, bajo condiciones muy generales, la serie de Fourier de f converge a f(x) para todo x

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Ejemplo:

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FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER

Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2π/ω₀.

Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

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Usando el hecho de que 1/i = -i:

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A la expresión obtenida

se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes c_n pueden obtenerse a partir de los coeficientes a_n, b_n como ya se dijo, o bien:

Para n = 0, ±1, ±2, ±3, ...

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Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:

Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (a_n y b_n), que eran a_n= 0 para todo n y

1

f(t)

t

^{. . . -T}/₂⁰^T/₂^{T . . .}

-1

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Entonces la serie compleja de Fourier queda:

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Ejemplo:

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BIBLIOGRAFÍA

Hwei P. Hsu (1988). Análisis de Fourier,

México :Pearson Educación.

Dennis G. Zill. ECUACIONES DIFERENCIALES, sexta edición(en línea) Disponible:

http://es.slideshare.net/bunuelooooo/libro-ecuaciones-diferenciales-6ta-edicion-dennis-g-zill

Eduardo Espinoza Ramos (2008). Análisis Matemático IV,

Lima-Perú..