Mata Kuliah : Aljabar Linear�Minggu ke 14 – Persamaan Bidang Rata dan Garis Lurus

Tujuan perkuliahan

Mampu menganalisis vektor garis, bidang, dan bola

Persamaan Vektoris Bidang Rata

Terlihat pada gambar bahwa :

OX = OP + PX

​

​

.…(1)

​

dimana

Merupakan persamaan vektoris bidang rata yang melalui satu titik P( x₁ , y₁, z₁ ) dan diketahui kedua vektor arahnya a = [ x _a ,y _a, z _a] dan b = [x_b ,y _b, z _b] .

Hal-hal khusus dari bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0.

1. Bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O (0,0,0) dan

sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya

akan mempunyai harga D = 0.

​

2. Apabila D ≠ 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi Ax/ -D + By/ -D + Cz/ -D = 1 dan sebut berturut-turut A/ -D = 1/p, B/ -D=1/ q, C/-D =1/ r, didapat persamaan :

x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu X di (p, 0, 0 ) sumbu Y di ( 0, q ,0 ) sumbu Z di ( 0, 0, r ).

​

3. Bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X bila B = 0, bidang rata

sejajar sumbu Y, dan bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z

​

4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidang XOY bila B = C = 0, bidang rata sejajar bidang YOZ bila A = C = 0, bidang rata sejajar bidang XOZ

Sudut antara dua bidang rata

Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara

vektor-vektor normalnya. Misanya, sudut antara bidang :

​

maka sudutnya adalah sudut antara normal-normal

, yaitu :

​

​

​

​

​

​

​

Persamaan Garis lurus

Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada

garis tersebut.

​

Jadi bila garis lurus melalui titik P ( x₁, y₁, z₁ ) dan mempunyai

vektor arah a = [a,b,c], maka persamaannya adalah :

……….(**)

Dari persamaan (**) diperoleh 3 persamaan, yaitu :

• x = x₁ + λ a
• y = y₁ + λ b ………(***)
• z = z₁ + λ c

yang disebut persamaan parameter garis lurus.

Kemudian bila a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, λ kita eliminasikan dari

persamaan (***), diperoleh :

•  
• λ = = =

​

yang disebut persamaan linier garis lurus

​

​

Garis lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

Garis lurus dapat dinyatakan sebagai perpotongan

sembarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut.

Misalnya, garis lurus g adalah perpotongan bidang rata.

V ₁ = A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0 dan

V ₂ = A₂ x + B₂ y + C₂z + D₂ = 0 , maka persamaan

garis lurus g dapat ditulis :

​

​

​

Untuk mencari persamaan linier garis lurus tsb sbb :

1. Menentukan vektor arah dari garis lurus : [ a, b, c ]

​

​

​

​

​

Jelas [a, b, c] = n₁ x n₂

2. Menentukan sembarang titik (x₁, y₁, z₁) pada garis lurus,

biasanya diambil titik potong dengan bidang koordinat,

mis. bidang xoy z = 0 sehingga diperoleh :

A₁x + By₁ + D₁ = 0

A₂x + By₂ + D₂ = 0

​