1
Материал подготовила
Юзеева И.П., учитель математики
МАОУ «Академический лицей»
Задачи на построение сечений
Теоремы, используемые при построении сечений
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.
Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости, то она параллельна и самой плоскости
Решение.
1. Проведем прямую EF и обозначим Q ее точку пересечения с AC.
2. Проведем прямую SO и обозначим P её точку пересечения с EF.
3. Через точку P проведем прямую GH, параллельную BD.
4. Соединим точки F, G, E, H.
Полученный четырехугольник FGEH будет искомым сечением.
1. Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной BD и проходящей через точки E, F.
Упражнение 23
Решение.
1. Соединим точки E и F.
2.Через точку F проведем прямую, параллельную AS, и обозначим G ее точку пересечения с AC.
3.Проведем прямую EG и обозначим H ее точку пересечения с AD.
4.Через точку H проведем прямую, параллельную AS, и обозначим I ее точку пересечения с SD.
5.Соединим точки I и F.
Полученный четырехугольник EFIH будет искомым сечением.
2. Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной AS и проходящей через точки E, F.
5
6
Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
7
7
8
9
7. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре AA1 отмечена точка M так, что AM = 3. Через точки
M и B1 проведена плоскость α, параллельная AC1.
а) Докажите, что
если N — точка пересечения плоскости α с ребром A1D1.
а) Соединим точки M и B1.
Через точку M в плоскости AA1C1 проведем прямую параллельную прямой AC1.
Пусть K — точка пересечения этой прямой с прямой A1C1.
Точка K лежит в плоскости α. Проведем прямую KB1,
она пересечет ребро A1D1 в точке N.
Соединим точки M и N, тогда MNB1 — сечение куба плоскостью α.
Заметим, что прямые MK и AC1, а также прямые A1D1 и B1C1
параллельны. Из этого следует, что треугольники A1KM и A1C1A,
а также треугольники A1KN и С1KB1 подобны. Таким образом,
следовательно, D1N : NA1 = 1 : 2.
10
8. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K делит боковое ребро AA1 в отношении AK : KA1 = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M. Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.
Пусть четырёхугольник KBNM — сечение данной призмы плоскостью α
Прямая AC параллельна плоскости α, а плоскость ACK
пересекает плоскость α по прямой KN, следовательно, KN || AC и,
значит, AKNC — прямоугольник.
Прямые BD и AC являются соответственно проекциями прямых
BM и KN на плоскость ABC, значит, точка пересечения прямых
BD и AC (точка H) является проекцией точки пересечения
прямых BM и KN (точки O) на эту плоскость. Таким образом,
C другой стороны, отрезок OH — средняя линия треугольника
BDM и, следовательно,
откуда и следует доказываемое утверждение.
11
9. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка М-середина ребра SA. На ребре SB взята точка N так, что SN:NB=1:2.
12
13
11. Через точку L, принадлежащую высоте SO правильной четырехугольной пирамиды SABCD, постройте сечение, параллельное грани SDC
14
15
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!