Resposta em Frequência

Prof. André E. Lazzaretti

lazzaretti@utfpr.edu.br

Introdução

• Na análise de circuitos CA estudamos como encontrar as tensões e correntes em um circuito com fontes de frequência constante.
• Se mantivermos a amplitude da senoide constante, mas variarmos a frequência, obtemos a resposta em frequência do circuito.
• A resposta em frequência de um circuito é a variação de seu comportamento com a mudança na frequência do sinal.

Função de Transferência

• A função de transferência H(ω) é uma ferramenta analítica útil para encontrar a resposta em frequência de um circuito.
• Na verdade, a resposta em frequência de um circuito é um gráfico da função de transferência H(ω) versus ω, variando de ω = 0 a ω = ∞.
• A função de transferência H(ω) de um circuito é a razão dependente da frequência entre um fasor de saída Y(ω) e um fasor de entrada X(ω).

Função de Transferência

• Como H(ω) é uma quantidade complexa, possui magnitude H(ω) e uma fase φ:
• Para obter a função de transferência, devemos:
• Obter o circuito equivalente no domínio da frequência, substituindo resistores, capacitores e indutores pela suas impedâncias R, 1/jωC e jωL
• Usar qualquer técnica de circuitos para obter a quantidade apropriada.
• Obtemos a resposta em frequência do circuito traçando a magnitude e a fase da função de transferência a medida que a frequência varia.

Função de Transferência

• A função de transferência H(ω) pode ser expressa em termos de numerador N(ω) e denominador D(ω):

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• As raízes de N(ω)=0 são chamadas de zeros de H(ω) e são geralmente representadas por jω=z₁, z₂, ...
• As raízes de D(ω)=0 são chamadas de pólos de H(ω) e são geralmente representadas por jω=p₁, p₂, ...

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Função de Transferência

• Um zero, sendo uma raiz do polinômio do numerador, é um valor que resulta em um valor zero para a função.
• Um pólo, sendo uma raiz do polinômio do denominador, é um valor para o qual a função é infinita.
• Para evitar álgebra complexa, é comum trocar temporariamente jω por s quando operamos H(ω) e substituímos s por jω no final.

Exemplo 1

• Para o circuito RC a seguir, obtenha a função de transferência V₀/V_s e sua resposta em frequência. Seja v_s=V_mcosωt.

Exemplo 1

Exemplo 2

• Para o circuito a seguir, obtenha a função de transferência I₀(ω)/I_i(ω) e seus pólos e zeros.

Escala Decibel

• Em sistemas de comunicação, ganho é medido em bels. Historicamente, o bel é usado para medir a razão entre dois níveis de potência ou ganho de potência G:

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• O decibel (dB) é dado por:

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• Alternativamente, o ganho G pode ser expresso em termos razão de tensão ou corrente:

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Diagrama de Bode

• A prática tradicional para mostrar a resposta em frequência é traçar a função de transferência em um par de diagramas semilogaritmicos:
• A magnitude em decibéis é traçada versus o logaritmo da frequência
• A fase em graus é traçada versus o logaritmo da frequência
• Estes diagramas semi-logaritmicos da função de transferência são conhecidos como Diagramas de Bode.

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Papel Semilog

Diagrama de Bode

Diagrama de Bode

• Uma função de transferência pode ser escrita em termos de fatores que tem partes real e imaginária:

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• Que é obtida dividindo os pólos e zeros em H(ω)
• Esta é a chamada forma padrão e podem aparecer diferentes fatores:
• Um ganho K
• Um pólo (jω)^-1 ou zero (jω) na origem
• Um pólo 1⁄ (1+jω/p₁) ou zero (1+ jω/z₁) simples

Diagrama de Bode

• Na construção do diagrama de Bode, traçamos cada fator separadamente e então adicionamos graficamente para obter uma aproximação.
• Termo constante: para o ganho K, a magnitude é 20log₁₀K e a fase é 0°. Se K é negativo, a magnitude permanece 20log₁₀|K| mas a fase é ±180°.

Diagrama de Bode

• Zero na origem: para o zero (jω) na origem, a magnitude é 20log₁₀ω e a fase é 90°. A inclinação é de 20 dB/década enquanto a fase é constante.
• Pólo na origem: para o pólo (jω)^-1 na origem, inclinação é de –20dB/década enquanto a fase é constante (-90°).
• Em geral, para (jω)^N, onde N é um inteiro, o diagrama da magnitude terá uma inclinação de 20N dB/década, enquanto a fase é 90°N.

Diagrama de Bode

Diagrama de Bode

• A fase é tan^-1 ω/z₁ pode ser expressa como:

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• Na aproximação por linhas retas temos ϕ ≃ 0 para ω ≤ z₁⁄10, ϕ ≃ 45° para ω = z₁ e ϕ ≃ 90° para ω ≥ 10z₁. O diagrama tem uma inclinação de 45° por década.

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Diagrama de Bode

• Pólo simples: o diagrama de Bode para um pólo simples 1⁄(1+jω/p₁) é similar ao do zero simples, exceto que a frequência de corte é em ω = p₁ , a magnitude tem uma inclinação de –20 dB/década e a fase tem uma inclinação de −45° por década.

Exemplo 3

• Construa o diagrama de Bode para a seguinte função de transferência: