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Resposta em Frequência

Prof. André E. Lazzaretti

lazzaretti@utfpr.edu.br

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Introdução

  • Na análise de circuitos CA estudamos como encontrar as tensões e correntes em um circuito com fontes de frequência constante.
  • Se mantivermos a amplitude da senoide constante, mas variarmos a frequência, obtemos a resposta em frequência do circuito.
  • A resposta em frequência de um circuito é a variação de seu comportamento com a mudança na frequência do sinal.

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Função de Transferência

  • A função de transferência H(ω) é uma ferramenta analítica útil para encontrar a resposta em frequência de um circuito.
  • Na verdade, a resposta em frequência de um circuito é um gráfico da função de transferência H(ω) versus ω, variando de ω = 0 a ω = ∞.
  • A função de transferência H(ω) de um circuito é a razão dependente da frequência entre um fasor de saída Y(ω) e um fasor de entrada X(ω).

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Função de Transferência

  • Como H(ω) é uma quantidade complexa, possui magnitude H(ω) e uma fase φ:
  • Para obter a função de transferência, devemos:
    • Obter o circuito equivalente no domínio da frequência, substituindo resistores, capacitores e indutores pela suas impedâncias R, 1/jωC e jωL
    • Usar qualquer técnica de circuitos para obter a quantidade apropriada.
  • Obtemos a resposta em frequência do circuito traçando a magnitude e a fase da função de transferência a medida que a frequência varia.

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Função de Transferência

  • A função de transferência H(ω) pode ser expressa em termos de numerador N(ω) e denominador D(ω):

  • As raízes de N(ω)=0 são chamadas de zeros de H(ω) e são geralmente representadas por jω=z1, z2, ...
  • As raízes de D(ω)=0 são chamadas de pólos de H(ω) e são geralmente representadas por jω=p1, p2, ...

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Função de Transferência

  • Um zero, sendo uma raiz do polinômio do numerador, é um valor que resulta em um valor zero para a função.
  • Um pólo, sendo uma raiz do polinômio do denominador, é um valor para o qual a função é infinita.
  • Para evitar álgebra complexa, é comum trocar temporariamente jω por s quando operamos H(ω) e substituímos s por jω no final.

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Exemplo 1

  • Para o circuito RC a seguir, obtenha a função de transferência V0/Vs e sua resposta em frequência. Seja vs=Vmcosωt.

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Exemplo 1

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Exemplo 2

  • Para o circuito a seguir, obtenha a função de transferência I0(ω)/Ii(ω) e seus pólos e zeros.

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Escala Decibel

  • Em sistemas de comunicação, ganho é medido em bels. Historicamente, o bel é usado para medir a razão entre dois níveis de potência ou ganho de potência G:

  • O decibel (dB) é dado por:

  • Alternativamente, o ganho G pode ser expresso em termos razão de tensão ou corrente:

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Diagrama de Bode

  • A prática tradicional para mostrar a resposta em frequência é traçar a função de transferência em um par de diagramas semilogaritmicos:
    • A magnitude em decibéis é traçada versus o logaritmo da frequência
    • A fase em graus é traçada versus o logaritmo da frequência
  • Estes diagramas semi-logaritmicos da função de transferência são conhecidos como Diagramas de Bode.

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Papel Semilog

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Diagrama de Bode

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Diagrama de Bode

  • Uma função de transferência pode ser escrita em termos de fatores que tem partes real e imaginária:

  • Que é obtida dividindo os pólos e zeros em H(ω)
  • Esta é a chamada forma padrão e podem aparecer diferentes fatores:
    • Um ganho K
    • Um pólo (jω)-1 ou zero (jω) na origem
    • Um pólo 1⁄ (1+jω/p1) ou zero (1+ jω/z1) simples

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Diagrama de Bode

  • Na construção do diagrama de Bode, traçamos cada fator separadamente e então adicionamos graficamente para obter uma aproximação.
  • Termo constante: para o ganho K, a magnitude é 20log10K e a fase é 0°. Se K é negativo, a magnitude permanece 20log10|K| mas a fase é ±180°.

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Diagrama de Bode

  • Zero na origem: para o zero (jω) na origem, a magnitude é 20log10ω e a fase é 90°. A inclinação é de 20 dB/década enquanto a fase é constante.
  • Pólo na origem: para o pólo (jω)-1 na origem, inclinação é de –20dB/década enquanto a fase é constante (-90°).
  • Em geral, para (jω)N, onde N é um inteiro, o diagrama da magnitude terá uma inclinação de 20N dB/década, enquanto a fase é 90°N.

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Diagrama de Bode

  •  

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Diagrama de Bode

  • A fase é tan-1 ω/z1 pode ser expressa como:

  • Na aproximação por linhas retas temos ϕ ≃ 0 para ω ≤ z1⁄10, ϕ ≃ 45° para ω = z1 e ϕ ≃ 90° para ω ≥ 10z1. O diagrama tem uma inclinação de 45° por década.

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Diagrama de Bode

  • Pólo simples: o diagrama de Bode para um pólo simples 1⁄(1+jω/p1) é similar ao do zero simples, exceto que a frequência de corte é em ω = p1 , a magnitude tem uma inclinação de –20 dB/década e a fase tem uma inclinação de −45° por década.

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Exemplo 3

  • Construa o diagrama de Bode para a seguinte função de transferência:

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