Media Pembelajaran

RELASI DAN FUNGSI

Sumber: www.shutterstock.com

Jarak rumah Rudi dan Rani ke sekolah sama, yaitu 15 km dengan arah yang berbeda. Rumah Rani berada di sebelah utara sekolah, sedangkan Rudi berada di sebelah timur sekolah. Biasanya, Rani dan Rudi naik angkutan umum (angkot) ke sekolah. Akan tetapi, karena sedang ada aksi mogok angkot, mereka terpaksa naik taksi. Ada hal yang menjadi pertimbangan Rudi dan Rani tentang tarif taksi yang harus mereka bayarkan.

3.1 RELASI, FUNGSI, DAN REPRESENTASINYA

A. Peristilahan

Jika dugaanmu seperti itu, ternyata tidak semuanya benar dan tidak semuanya salah. Dugaan yang salah terletak pada istilah ”fungsi”. Makna fungsi dalam matematika bukanlah manfaat atau kegunaan seperti dalam kehidupan sehari-hari. Apa arti ”fungsi” sesungguhnya dalam matematika?

​

​

​

Pelajari Relasi dan Fungsi

B. Masalah Berkenaan dengan Relasi dan Fungsi

Ciri-ciri Fungsi

Dalam bentuk diagram panah, relasi dari himpunan A ke himpunan B yang dilambangkan dengan ”R: A → B” merupakan fungsi jika memiliki ciri-ciri:

1. Semua anggota A memiliki kawan di B
2. Kurva pemasangan dari A ke B tidak ada yang bercabang.

Berdasarkan ciri-ciri fungsi tersebut, cermati bahwa dari keempat contoh relasi yang digambarkan pada Gambar 3.1 dan Gambar 3.2, relasi R yang memenuhi syarat sebagai fungsi (dari himpunan A ke himpunan B) adalah relasi yang ditunjukkan pada Gambar 3.2(a) atau R₃.

Manakah di antara relasi-relasi R berikut yang merupakan fungsi?

1. R₁ = {(–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.
2. R₂ = {(1, 4), (1, 9), (1, 10), (2, 4), (2, 10), (3, 9), (3, 10)}.

Jawab:

Kita gambar diagram pemasangannya.

Berdasarkan ciri-ciri fungsi, maka:

1. R₁ merupakan fungsi dari A ke B.

Ditulis R₁ = f: A → B.

1. R₂ bukan merupakan fungsi dari A ke B. Ditulis R₁ ≠ f: A → B.

C. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil Suatu Fungsi

Jika suatu relasi dari himpunan A ke B merupakan fungsi, maka gambaran berkenaan dengan domain (daerah asal), kodomain (daerah kawan), dan range (daerah hasil) dapat dipahami selengkapnya melalui contoh berikut.

Misalkan A = {–1 , 0, 1, 2, 3} dan B = {0, 1, 4, 6, 9}. Relasi R yang memasangkan elemen-elemen x∈A dan y∈B adalah “dikuadratkan menjadi”. Gambarkan dalam bentuk diagram panah (diagram pemasangan) relasi R tersebut. Apakah relasi R merupakan fungsi? Jika ya, tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi yang dimaksud.

Jawab:

1. Dalam bentuk diagram panah, relasi ”R: dikuadratkan menjadi” digambarkan seperti gambar berikut.

​

​

​

​

​

​

​

​

Karena R memenuhi ciri-ciri fungsi, maka R merupakan fungsi dari A ke B, ditulis R = f: A→B. Relasi R = f: A→B yang dimaksud dalam bentuk himpunan pasangan berurutan adalah R = f = {(–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.

​

b. Bayangan (peta) fungsi f dari x∈A adalah y∈B dilambangkan dengan y = f(x). Dengan kata lain, himpunan bayangan dari x ∈ A adalah f(x) ∈ B. Himpunan bayangan fungsi f selengkapnya adalah himpunan daerah hasil H seperti yang digambarkan berikut. Himpunan daerah hasil H selanjutnya disebut range fungsi f: A → B.

​

​

​

​

​

​

​

• Daerah asal (domain) dari fungsi f adalah A = {–1 , 0, 1, 2, 3}.
• Daerah kawan (kodomain) fungsi f adalah B = {0, 1, 4, 6, 9}.
• Daerah hasil (range) fungsi f adalah H = {0, 1, 4, 9}.

D. Banyak Fungsi dari Dua Himpunan

Misalkan diketahui himpunan A = {a, b, c} dan B = {1, 2}. Diagram panah semua fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B dapat digambarkan sebagai berikut.

Berdasarkan gambar diagram panah tersebut, tampak bahwa himpunan A memiliki 3 anggota atau n(A) = 3 dan himpunan B dengan 2 anggota atau n(B) = 2. Jadi, banyaknya fungsi dari himpunan A ke himpunan B sebanyak 2³ = 8.

Diketahui A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan banyak pemetaan yang

mungkin dari A ke B.

​

Jawab:

A = {a, b, c} ⇒ n(A) = 3 dan

B = {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ n(B) = 5

Jadi, banyaknya fungsi dari himpunan A ke himpunan B = n(B)^n(A) = 5³ = 125.

3.2 TINJAUAN FORMAL (MATEMATIS) RELASI DAN FUNGSI

Misalkan himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 3, 5, 6, 7}. Misalkan R adalah relasi yang memasangkan elemen-elemen x ∈ A dengan y ∈ B adalah ”membagi habis”. Gambarkan diagram panah relasi R dan nyatakan himpunan semua relasi R tersebut dalam bentuk pasangan berurutan. Selidiki apakah relasi R itu merupakan fungsi atau bukan.

​

Jawab:

​

​

​

​

​

• R = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}.
• Relasi R: A → B bukan fungsi, karena x ∈ A yang muncul lebih dari 1 kali.

3.3 IDENTIFIKASI SEBUAH KURVA MERUPAKAN GRAFIK FUNGSI ATAU BUKAN

Masalah

Diketahui gambar suatu kurva pada bidang koordinat Cartesius adalah seperti berikut.

1. Manakah di antara kedua kurva tersebut yang merupakan fungsi dari X ke Y?
2. Jika kurva itu merupakan grafik fungsi (x), yakni f: X → Y dengan x, y ∈ himpunan bilangan real R, tentukan domain (daerah asal), kodomain (daerah kawan), dan tentang (daerah hasil) atau “range“ fungsi f tersebut.

Pemecahan Masalah

1. Gambaran tentang posisi relatif titik-titik D sendiri dan titik-titik lainnya terhadap titik D dapat dilihat pada gambar di samping.

​

​

​

​

​

​

​

Cermati bahwa garis-garis yang sejajar sumbu-Y maksimal memotong grafik di satu titik dipenuhi oleh kurva pada Gambar 3.4(a). Sementara itu, untuk kurva pada Gambar 3.4(b) tidak memenuhi syarat sebab ada garis yang sejajar sumbu-Y yang memotong kurva di lebih dari satu titik. Oleh karena itu, kurva yang merupakan grafik fungsi dalam variabel x adalah kurva 3.4(a).

b. Secara teknis, untuk menentukan daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil dari sebuah fungsi yang kurva grafiknya diketahui, cukup dengan menunjukkan adanya daerah persegi panjang yang tepat melingkupi kurva yang dimaksud. Perhatikan Gambar 3.5 berikut.

​

​

​

​

​

​

​

Kurva (a):

• Daerah asal fungsi f → {x | –1 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}
• Daerah hasil fungsi f → {y | –1 ≤ y ≤ 5, y ∈ R} dengan R = himpunan bilangan real.

Kurva (b) tidak perlu disebutkan mana daerah asal dan mana daerah hasil, karena kurva (b) bukan merupakan fungsi.

Secara singkat, kita dapat memilih titik-titik yang berkoordinat nilai bulat yang mewakili kurva tersebut. Titik-titik yang dimaksud adalah titik A, B, C, D, dan E pada Gambar 3.5(a) dan P, Q, R, S, T, dan U yang mewakili kurva pada gambar 3.5(b). Setiap kumpulan titik mewakili relasi R₁ dan R₂ dengan R₁ dan R₂ berupa himpunan titik-titik pada bidang koordinat, yakni R₁ = {A, B, C, D, E} dan R₂ = {P, Q, R, S, T, U}. Bentuk himpunan pasangan berurutan relasi R₁ dan R₂ selengkapnya sebagai berikut.

R₁ = {A, B, C, D, E} = {(–1, 2), (1, 1), (3, 2), (5, 4), (6, 5)}

R₂ = {P, Q, R, S, T, U} = {(0, 6), (–1, 4), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, –1)}

​

Bentuk diagram panah untuk masing-masing kurva pada diagram Cartesius adalah sebagai berikut.

​

​

​

​

​

​

​

Berdasarkan ciri-ciri fungsi, maka R₁ pada Gambar 3.7(a) merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, atau R₁ = f: A → B. Relasi R₂ pada Gambar 3.7(b) terdapat anggota himpunan A yang memiliki cabang, yakni 0 ∈ A dengan bentuk pengawanan 0 → 2 dan 0 → 6 yang berarti relasi R₂ bukan fungsi dari A ke B, atau R₂ ≠ f: A → B.

3.4 FUNGSI LINEAR DAN GRAFIKNYA

Diketahui sebuah fungsi dalam x berbentuk f(x) = x + 1. Gambarkan grafik fungsi tersebut.

Jawab:

1. Cara 1: Dengan penalaran lengkap.

Pertama, buat tabel nilai-nilai fungsi. Kemudian, gambarkan di kertas berpetak nilai-nilai fungsi yang terdapat pada tabel, lalu hubungkan titik-titik anggotanya dengan sebuah kurva mulus. Hasilnya seperti gambar di samping.

​

Secara Umum

b. Cara 2: Dengan cara singkat

Oleh karena bentuk fungsinya f(x) = 23x + 1 memenuhi bentuk umum fungsi linear f(x) = mx + c dengan m = 23 dan c = 1, maka grafiknya akan berupa garis lurus. Grafiknya, dipastikan berupa garis lurus sehingga untuk menggambarkan grafiknya kita cukup menentukan 2 titik anggotanya (khususnya 2 titik yang berkoordinat bulat) dengan sebuah kurva mulus. Misalkan yang kita pilih adalah x = 0 dan x = 6, maka dihasilkan grafik f(x) berupa garis lurus yang melalui titik (0, 1) dan (6, 5).

3.5 PERHITUNGAN NILAI FUNGSI DENGAN PEMBULATAN / PENAKSIRAN (PENGAYAAN)

Jika selisih antara jumlah sesungguhnya dengan jumlah perkiraan (taksiran) secara ekonomis dianggap tidak signifikan terhadap produk/hasil kerja sebenarnya yang akan dicapai.

Bagaimana jika antara hasil perhitungan sesungguhnya dengan hasil perhitungan secara pembulatan ternyata memiliki selisih yang signifikan?

Sejauh mana tingkat pembulatan dapat diterima dalam kehidupan sehari-hari?

Satuan utuhnya harus diperkecil sehingga secara ekonomi selisih perhitungannya dianggap menjadi tidak signifikan..

Besaran yang lebih dari 12 atau 0,5 dibulatkan ke 1, sementara besaran yang kurang dari 12 ditiadakan (dianggap kosong/tak ada isinya), yakni 0 (nol). Aturan ini berlaku umum sehingga dalam bentuk desimal pecahan yang lebih dari 0,5 dibulatkan ke atas menjadi 1 satuan (utuh), dan pecahan yang kurang dari 0,5 ditiadakan/dianggap sama dengan 0 (nol).

Aturan Pembulatan

3.6 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DAN MEMBUAT NILAI TAKSIRAN

Perhatikan Gambar 3.9. Jika y = f(x), maka y adalah fungsi dari x. Artinya, besar nilai y Tergantung pada nilai x yang diberikan. Batas nilai x yang diberikan selanjutnya disebut sebagai rentang (interval) daerah asal yang diketahui. Gambar 3.9 disebut grafik dari fungsi f: A → B. Dalam hal ini adalah grafik fungsi f dalam x dengan f(x) = x, untuk 0 ≤ x ≤ 6,3.

Cermati bahwa berdasarkan grafik f(x) = x, nilai-nilai fungsi f untuk x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5, dan, x = 6 berturut-turut adalah f(1) = 1 = 1; f(2) = 2 = 1,4; f(3) = 3 = 1,7; f(5) = 5 = 2,2; f(6) = 6 = 2,4; dan seterusnya.

3.7 FUNGSI TAK SEDERHANA

Fungsi dalam variabel x dapat ditulis dengan lambang f(x). Fungsi f(x) dikenal sebagai fungsi dalam x yang bersifat sederhana. Fungsi dalam x yang variabelnya diganti menjadi x + 2, x – 3, 2x + 5, x², xy², xy , dan sebagainya sehingga fungsi yang dimaksud bentuknya menjadi f(x + 2), f(2x – 3), f(x2), f(xy²), f( ), dan sebagainya. Fungsi-fungsi seperti itulah selanjutnya dikenal sebagai fungsi-fungsi f yang tidak sederhana.

Diketahui: f(x) = 2x + 5. Tentukan:

a. f (3) b. f(2x – 3)

​

Jawab:

a. f(3) = 2(3) + 5 = 11

b. f(2x – 3) = 2(2x – 3) +5 = 4x – 1

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3. Jika f(k) = 9, tentukan nilai k.

​

Jawab:

f(x) = 2x + 3

f(k) = 2(k) + 3 = 9

2k = 9 – 3 → 2k = 6 → k = 3