Тема уроку:

1

• Яким може бути взаємне розміщення двох площин в просторі?

​

​

​

​

2

• ОзначенняОзначення та ознаку перпендикулярних прямих.

​

• ОзначенняОзначення та ознаку перпендикулярності прямої і площини.

3

Означення �перпендикулярних прямих

4

Ознака перпендикулярності прямих в просторі

• Якщо дві прямі, які перетинаються, відповідно паралельні двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

5

а₁║а, b₁║ b, а _┴ b,

то

а_{1 ┴} b₁

Означення перпендикулярних �прямої та площини

6

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до довільної прямої, що лежить на цій площині і проходить через їхню точку перетину.

​

Ознака перпендикулярності прямої і площини

• Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині та перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

7

α

О

с

a

b

Тема уроку:

8

Завдання уроку:

• Дати означення перпендикулярних площин.

​

• Сформулювати і довести ознаку перпендикулярності площин.

​

• Навчитися застосовувати вивчені твердження до розв’язування задач.

Означення перпендикулярних площин

9

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Якщо α∩β=с, γ∩α=а, γ∩β=b, с _┴ γ і а _┴ b, то α _┴ β

Ознака перпендикулярності площин

• Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

10

Дано: α, а _┴ α; а∩α=О; площина β проходить через а. Довести: β _┴ α.

Ознака перпендикулярності площин

• Побудуємо довільну площину β через пряму а і деяку точку К поза нею.

11

Дано: α, а _┴ α; а∩α=О; площина β проходить через а. Довести: β _┴ α. Доведення

• О – спільна точка площин α і β, тому α∩β = b, О∈ b.

• Проведемо на площині α деяку пряму с _┴ b (на площині така пряма єдина).

• Оскільки а _┴ α і а∩α=О, то а _┴ с (О∈с, О∈b, О∈а ). Отже, с _┴ а, с _┴ b.

• Проведемо площину γ через прямі а і с, то γ _┴ b (оскільки дві її прямі перпендикулярні до b). Тоді за означенням, β _┴ α.

Властивості�перпендикулярних площин

12

Якщо дві площини взаємно перпендикулярні, то будь-яка пряма, що лежить в одній з них і перпендикулярна до їхньої лінії, перпендикулярна до другої площини.

Дано: а _┴ b, α∩β=с, а₁ α і а_1┴с, с∩а₁=А.

Довести: а_{1 ┴} β

α

γ

β

с

а

b

а₁

b₁

А

Властивості�перпендикулярних площин

13

Якщо дві площини взаємно перпендикулярні та з деякої точки однієї з них опущено перпендикуляр на другу, то цей перпендикуляр лежить у першій площині.

Дано: α _┴ β, α∩β=с, А∈β, В∈α,

АВ _┴ α.

Довести: АВ ∈ β

α

γ

β

с

а

b

В

А

Опорна задача

14

З точок P і Q, які лежать на двох взаємно перпендикуляр- них площинах, проведено перпендикуляри PH і QC на пряму перетину площин α і β. Знайдіть довжину відрізка PQ, якщо PH=6 см, QC =7 см, HC=6 см.

Дано: α _┴ β, α∩β=с, РН_┴ с, Н∈с,

QC_┴ с, С∈с; PH=6 см, QC =7 см,

HC=6 см.

Знайти: PQ.

Оскільки α _┴ β, РН α , РН_┴с, то PH _┴ β , звідси PH_┴HQ. Тоді ∆PHQ – прямокутний.

На площині β ∆QСH – прямокутний, оскільки QC_┴с, то QC_┴СH.

Розв’язання

З ∆QСH: HQ²= QС² + HС²=49+36=85.

З ∆РHQ: РQ²= РН² + HQ²=36 +85 =121. Враховуючи, що РQ>0, РQ =11 см.

Відповідь. 11см

А як застосувати ознаку перпендикулярності площин �для знаходження довжини відрізка, кінці якого лежать на перпендикулярних прямих?

Підсумки уроку�Контрольні запитання:

15

• Подивіться, чи є на вашу думку, перпендикулярні площини в класній кімнаті?

​

• Перерізом куба площиною, перпендикулярною до його грані є…

​

• Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (див. мал. 5.39 ст.169). Площина ВDD_{1 ┴} … до площини

C₁CD; C₁B₁B; C₁CB; C₁D₁B_1.

квадрат.

Cписок використаних джерел

• uk.wikipedia.org›wiki/Перпендикулярність
• Геометрія (академічний рівень, 1-143 стр.), видавництво “Генеза”, Автор: О.Я. Біляніна, Г.І. Білянін, В.О.Швець, 2010, стор. 256

​

• n

16