Производная
Определение производной
Производная функции —
основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее
скорость изменения функции._ Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.
Например, построим график Y=x2
∆Y
∆x
∆Y
∆x
= 3
= 5
Определение производной�
Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой
Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:
Основные производные простых функций
Правила вычисления производных
Например
1. (5х2)'= 5(х2)'=10х
2. (5х2 +4х)' = (5х2 )' +(4х)' =10х+4
3. ((5х2) (4х))'= (5х2)' (4х)+ (5х2) (4х)'= 40х2+20х2
4.
5. ((5x+4)2)' = [(5x+4)2]' ∙(5x+4) '=10(5х+4)
Пример 1(подробно по шагам):
Вычислить производную функции у=5х2 + 3х + 4�Решение:
[Используем третье правило дифференцирования ]
[ Для первого и второго слагаемого следуем применить четвертое правило дифференцирования ]
[ для третьего слагаемого используем правило ,
для первого и второго -табличную производную ]
Геометрический смысл производной
На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале [-6;6] В какой точке отрезка [3;5] принимает наибольшее значение.
Решение. На заданном отрезке производная функции неотрицательна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на правой границе отрезка, т. е. в точке 5.
Построим график
Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
На примере
Дана функция f(x)=x2
Находим производную f’(x)=2x
Находим знак производной в различных точках, например:
Вывод:
Слева от нуля функция убывает, чем ближе к нулю, тем медленнее
В нуле функция постоянна, т.е. это точка экстремума (максимум/минимум)
Справа от нуля функция возрастает, чем дальше от нуля, тем быстрее
х | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
f’(x) | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
Ссылки на видео
https://www.youtube.com/watch?v=yqyzD4bfw7k
https://www.youtube.com/watch?v=qoHWa0eJHq4
https://www.youtube.com/watch?v=w4Bl7NnMMMo
Урок 3. Геометрический смысл производной
https://www.youtube.com/watch?v=WfibjWbInC4
Подробное решение с производными