Квадратична функція та її графік
9 клас
Означення: Функція виду y=ax2 +bx+c, де х – аргумент і а ≠ 0 називається квадратичною, а – перший коефіцієнт, b – другий коефіцієнт, с – вільний член.
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
у=ax2
Графіком квадратичної функції є парабола
Розміщення графіка функції
1.Необхідно знайти розміщення вершини параболи точку А(m;n);
2. Необхідно з'ясувати вгору чи вниз будуть направлені вітки параболи;
3. Необхідно знайти нулі функції, тобто де графік функції буде перетинатись з віссю абсцис 0х.
4. Необхідно з'ясувати де в Декартові системі координат квадратична функція буде набувати додатних (+) і від'ємних (-) значень.
Вершина параболи
Для того, щоб знайти вершину параболи, необхідно скористатись наступними формулами
Точка А(m;n) – вершина параболи
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
А(m;n)
B(m;n)
а<0
а>0
Вісь симетрії
Так як квадратична функція парна функція, то її графік буде симетричний відносно осі симетрії. Вісь симетрії проходить через вершину параболи.
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
А(m;n)
y
х
0
2
1
-2
-1
-1
-2
-3
А(m;n)
Вісь симетрії параболи
y = m
а>0
а<0
Графік квадратичної функції – парабола, вітки якої направлені вгору, якщо а>0
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
і вниз, коли а<0
y
х
0
2
1
-2
-1
-1
-2
-3
Направлення віток параболи
а>0
а<0
Розташування віток параболи
В залежності від абсолютної величини а – першого коефіцієнта, вітки параболи будуть пологими (0<a<1) або стислими (a>1) відносно осі симетрії
0<а<1
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
а>1
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
y = x2
y = ½*x2
y = 1/3*x2
y = ¼*x2
y = x2
y = 2x2
y = 3x2
y = 4x2
y = ¼*x2
Розташування віток параболи
y
х
0
2
1
-2
-1
-1
-2
-3
y
х
0
2
1
-2
-1
-1
-2
-3
-1<а<0
а<-1
y =- x2
y =- ½x2
y =- 1/3x2
y = -¼x2
y = -x2
y = -2x2
y = -3x2
y = -4x2
Зростання і спадання графіка функції
В залежності від значення а – першого коефіцієнту, графік квадратичної функції може спочатку спадати, а потім зростати на всій області визначення D(x), або навпаки зростати, а потім спадати
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
а>0
y
х
0
2
1
-2
-1
-1
-2
-3
а<0
Вершина параболи
Але вершина параболи точка А(m;n) не завжди буде знаходитись в точці О(0;0): це буде залежати від розміщення графіка функції.
Графік функції буде розміщуватись по різному і це залежить від багатьох факторів.
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
y
х
0
2
1
-2
-1
-1
-2
-3
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
А(m;n)
А(m;n)
А(m;n)
а>0
а<0
а>0
Нулі функції
Щоб знайти точки перетину параболи з віссю 0х, необхідно прирівняти квадратний тричлен до 0(нуля), розв'язати квадратне рівняння і знайти його корені.
ax2+bx+c=0
D=b2-4ac
Якщо D>0 ,то ми будемо мати 2 дійсних різних корені
х1=
; х2=
Графік функції буде розміщуватись так:
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
х1
х2
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
х1
х2
графік функції двічі перетинає вісь 0х
а>0
а<0
Якщо D=0, то ми матимемо 2 дійсних рівних корені�
х1,2=
графік функції тільки в одній точці перетинає вісь 0х (дотикається до вісі 0х) і точка дотику буде в вершині параболи
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
А(m;n)
y
х
0
2
1
-2
-1
-1
-2
-3
А(m;n)
а>0
а<0
Якщо D<0, то дійсних коренів квадратний тричлен не матиме, корені будуть комплексні спряжені, графік функції не перетинає вісь 0х в жодній точці
y
х
0
2
1
-2
-1
1
2
3
4
y
х
0
2
1
-2
-1
-1
-2
-3
а>0
а<0
Квадратична функція набуває додатних і від'ємних значень в залежності від а та D
| | |
якщо a>0
якщо D>0
якщо D=0
якщо D<0
y
х
0
х1
х2
+
+
-
y
х
0
y
х
0
х1,2
+
+
+
+
Квадратична функція набуває додатних і від'ємних значень в залежності від а та D
якщо a<0
| | |
якщо D>0
якщо D=0
якщо D<0
y
х
0
y
х
0
y
х
0
+
-
-
-
-
-
-
х1
х2
х1,2
Розглянемо приклад
Нехай нам задана функція y=x2+4x-5. Необхідно побудувати її графік.
y
х
0
1
-2
-9
-5
m = -2; n = -9
A( -2;-9)
х1= -5
х2= 1
Вершина параболи
Нулі функції
Вісь симетрії
у = -2
Функція спадає ↓
Функція зростає ↑
на проміжку (-∞;-2)
на проміжку (-2;+∞)
А(-2;-9)
Вітки параболи напрямлені вгору так як a>0
y=x2+4x-5
+
+
-