Autor: Anibal Tavares de Azevedo
CÁLCULO I
SEMANA 02 - AULA 03
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6 Agosto 2008
LIMITES E DERIVADAS
Inclinação de uma reta:
Seja a equação da reta dado por y = ax + b. Deseja-se encontrar para um par de pontos P(x0,y0) e Q(x1, y1) o valor do coeficiente angular a e o valor coeficiente linear b tal como ilustrado no gráfico.
b
P(x0,y0)
0
x
y
f
P(x1,y1)
x0
x1
y0
y1
a
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Exemplo 1: Encontrar os valores de a e b da
reta y=ax+b para dois pontos P(x0,y0) e Q(x1,y1)
Quaisquer.
yo = axo + b ⇒ b = yo - axo (i)
y1 = ax1 + b (ii)
Aplicando (i) em (ii):
y1 = ax1 + (yo - axo)
⇒ a = (y1-yo )/(x1-xo) e b = yo - axo
LIMITES E DERIVADAS
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Encontrar a reta que toca uma curva em apenas 1 ponto, ou seja, encontrar a reta tangente a uma curva C, com equação y = f(x), no Ponto P(a,f(a)). Como uma reta só pode ser determinada com dois pontos, usa-se a reta secante que passa por um ponto próximo Q(x,f(x)), tal que x ≠ a.
LIMITES E DERIVADAS
0
y
x
a
x
Q(x,f(x))
f(x)
f(a)
P(a,f(a))
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LIMITES E DERIVADAS
0
y
x
a
x
Q(x,f(x))
f(x)
f(a)
f(x) – f(a)
x - a
P(a,f(a))
A inclinação da reta secante PQ, ou o coeficiente angular a da reta y = ax + b, pode ser obtido com:
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Para encontrar a reta tangente que passa por P, basta fazer o ponto Q tender a P ao longo da curva C. Para tanto, toca uma curva em apenas 1 ponto, ou seja, faz-se x tender a a. Se mpq tender a um número m, então, no limite a reta e a inclinação mpq da secante PQ tende a reta e a inclinação m da tangente por P.
LIMITES E DERIVADAS
0
y
x
Q
P
Q
Q
a
x
Desde que o
limite exista
(1)
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Exemplo 2: Encontrar a equação da reta tangente
à parábola y = x2 no ponto P(1,1).
LIMITES E DERIVADAS
Se a = 1 e f(x) = x2, aplicando o limite:
m = lim x→a (f(x) – f(a))/(x - a)
= lim x→1 (f(x) – f(1))/(x - 1)
= lim x→1 (x2 – 12)/(x - 1)
= lim x→1 (x – 1) (x + 1)/(x - 1)
= lim x→1 (x + 1)
= lim x→1 (x) + lim x→1 (1)
= 1 + 1
= 2
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LIMITES E DERIVADAS
y = ax + b → y = 2x + b (passa no ponto P(1,1,))
1 = 2*1 + b → b = 1 – 2 → b = -1
Se a equação da reta é y = ax + b e o coeficiente
angular ou inclinação a é igual a 2 e a reta
tangente passa por P(1,1), então, para encontrar
o coeficiente linear b basta usar o valor de a no
ponto P(1,1), isto é:
Assim, a equação da reta é: y = 2x - 1
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LIMITES E DERIVADAS
0
y
x
a
a+h
Q(a+h,f(a+h))
f(a+h)
f(a)
f(a+h) – f(a)
h
P(a,f(a))
Outra notação pode ser usada para se obter a inclinação da reta secante PQ, ou o coeficiente angular a, da reta y = ax + b:
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Para encontrar a reta tangente que passa por P, basta fazer o ponto Q tender a P ao longo da curva C. Isto é faz-se x=a+h tender x=a, ou seja, h tender a 0, tal que mpq irá tender a um número m, então, no limite a reta e a inclinação mpq da secante PQ tende a reta e a inclinação m da tangente por P.
LIMITES E DERIVADAS
0
y
x
Q
P
Q
Q
a
a+h
Desde que o
limite exista
(2)
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Se a = 1 e f(x) = x2, aplicando o limite:
m = lim h→0 (f(a+h) – f(a))/h
= lim h→0 (f(1+h) – f(1))/h
= lim h→0 ((1+h)2 – 12)/h
= lim h→0 (1 + 2h + h2 - 1)/(h)
= lim h→0 (2h + h2)/(h)
= lim h→0 (2 + h)
= lim h→0 (2) + lim h→0 (h)
= 2 + 0
= 2
Exemplo 3: Encontrar a equação da reta tangente
à parábola y = x2 no ponto P(1,1) usando (2).
LIMITES E DERIVADAS
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Velocidades:
Uma outra interpretação para o problema anterior é que a variável x é substituída por t (tempo) e f(x) passa a ser f(t) tal fornece a posição de um objeto no instante de tempo t. Portanto, no intervalo de tempo t = a e t = a + h a variação da posição será f(a+h) – f(a). Como a velocidade média é a distância (metros, p.ex.) percorrida em um dado intervalo de tempo (segundos, p.ex.), matematicamente tem-se:
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a = 10 s
f(a) = 500m
a+h = 40 s
f(a+h) = 1100m
LIMITES E DERIVADAS
h = 30 s
f(a+h)-f(a) = 600 m
Graficamente:
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Velocidades:
A velocidade média vmédia corresponde a obtenção da inclinação da reta secante (dois instantes de tempo distintos fornecem dois pontos P e Q). Já a velocidade instantânea v(a), isto é, a velocidade em um dado instante de tempo t = a, pode ser obtida a partir da velocidade média desde que o intervalo de tempo considerado seja suficientemente pequeno e equivale à obtenção da inclinação da reta tangente em P. Matematicamente isto corresponde à Eq. (1) ou (2):
LIMITES E DERIVADAS
(2)
(1)
Desde que o
limite exista
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Para encontrar a velocidade quando t = a:
v(a)= lim h→0 (f(a+h) – f(a))/h
= lim h→0 (4,9*(a+h)2 – 4,9*a2)/h
= lim h→0 4,9*(a + 2ah + h2 - a)/(h)
= lim h→0 4,9*((2ah + h2)/(h)
= lim h→0 4,9*(2a + h)
= lim h→0 4,9*(2a) + lim h→0 4,9*(h)
= 4,9*2*a
= 9,8*a
= Se a = 5, então, v(a = 5) = 9,8*5 = 49m/s
Exemplo 4: Suponha que uma bola foi abandonada do ponto de observação de uma torre com 450 m de altura. Qual a velocidade da bola após 5 segundos, supondo que a Eq. de movimento é s = f(t) = 4,9t2?
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LIMITES E DERIVADAS
Definição de Derivada:
A variação de uma função f(x) no ponto x = a é a derivada de uma função f em um número a e é denotada por f’(a) tal que:
Sempre que é necessário calcular a taxa de variação de uma função seja em ciências, engenharia, ou ainda a velocidade de uma reação química, ou o custo marginal em economia, usa-se a derivada.
(2)
(1)
Desde que o
limite exista
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Da definição de derivada:
f’(a)= lim h→0 (f(a+h) – f(a))/h
Seja:
(i) f(a+h) = (a+h)2 – 8(a+h) + 9
= a2 + 2ah + h2 -8a - 8h + 9
(ii)f(a) = a2 -8a + 9
(i)-(ii) = 2ah + h2 - 8h
Logo:
f’(a)= lim h→0 (2ah + h2 – 8h)/(h)
= lim h→0 h*(2a +h– 8)/(h)
= lim h→0 (2a + h - 8)
= 2a - 8
LIMITES E DERIVADAS
Atividade 1:
Seja a função f(x) = x2 – 8x + 9.
Item (A): Encontrar a derivada de f(x) em um ponto a.
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LIMITES E DERIVADAS
Atividade 1:
Seja a função f(x) = x2 – 8x + 9.
Item (B): Encontrar a reta tangente a f(x) em (3,-6).
Se a derivada de f(x) no ponto x = a é:
f’(a) = 2a – 8
Então, basta fazer x = a = 3 para encontrar a
inclinação da reta tangente no ponto (3,-6):
a = f’(a=3) = 2*3 – 8 = 6 – 8 = -2
Para encontrar o coeficiente linear basta
aplicar o ponto (3, -6) na equação da reta:
y = ax + b → -6 = (-2)*3 + b → b = -6 + 6 = 0
Assim, a eq. da reta tangente é: y = -2x
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Taxas de Variação:
Seja y uma função de x tal que y = f(x). Se variar de x1 para x2, então, ocorrerá uma variação correspondente em y de f(x1) para f(x2). Se Δx = x2 – x1 e Δy = y2 – y1, pode-se dizer que a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [x1, x2] é:
LIMITES E DERIVADAS
(3)
O limite dessa taxa de variação média é chamada de taxa instantânea de variação txi de y em relação a x:
(4)
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Taxas de Variação:
Portanto, a taxa de variação média pode ser vista como uma generalização do conceito de velocidade, ou ainda, da inclinação da reta secante a uma curva. O limite da taxa de variação média produz a taxa de variação instantânea que pode ser vista como a inclinação da reta tangente, ou ainda, como a derivada de uma função f(x) em um ponto x1.
LIMITES E DERIVADAS
0
y
x
x1
x2
f(x2)
f(x1)
Δy=y2-y1
Δx=x2-x1
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LIMITES E DERIVADAS
Exemplo 5: A dívida pública Canadense é dada na tabela abaixo. Calcular e interpretar D’(1998).
t(ano)
P(t)(US$ bilhão)
1994
414,0
1996
469,5
1998
467,3
2000
456,4
2002
442,3
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LIMITES E DERIVADAS
A derivada D’(1998) indica a taxa de variação da dívida D em relação a t quando t=1998. As taxas médias podem ser calculadas com:
t(ano)
1994
13,3
1996
-1,1
2000
-5,5
2002
-6,3
(5)
Eq. (5)
Da Tabela obtém-se que D’(1998) está entre -1,1 e -5,5. Usando uma média D’(1998) = -3,3 e que, portanto, a dívida está decrescendo naquele instante.
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LIMITES E DERIVADAS
A derivada como função:
A derivada de uma função f(x) para um ponto fixo a é dada por:
Esta definição pode ser generalizada para qualquer ponto a tal que:
(6)
Assim, para qualquer x, para o qual o limite existe, atribui-se a x o valor f’(x) e assim, pode-se dizer que f’ é uma função chamada de derivada de f e dada pela Eq.(6).
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Da definição de derivada:
f’(x)= lim h→0 (f(x+h) – f(x))/h
Seja:
(i) f(x+h) = (x+h)3 – (x+h)
= x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 – x - h
(ii)f(x) = x3 – x
(i)-(ii) = + 3x2h + 3xh2 + h3 - h
Logo:
f’(x)= lim h→0 (3x2h + 3xh2 + h3 - h)/(h)
= lim h→0 h*(3x2 + 3xh + h2 - 1)/(h)
= lim h→0 (3x2 + 3xh + h2 - 1)
= 3x2 - 1
LIMITES E DERIVADAS
Exemplo 6: Se f(x) = x3 – x, encontrar f’(x) e seu gráfico.
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LIMITES E DERIVADAS
-1
-1
f’(x)
1
y
x
0
-1
1
f(x)
1
y
x
0
-1
Exemplo 6: Se f(x) = x3 – x, encontrar f’(x) e seu gráfico.
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LIMITES E DERIVADAS
Derivadas de ordem mais alta:
A função f’ também pode ter derivada e é denotada por f’’. A nova função f’’ é chamada de derivada segunda ou de ordem dois de f e é representada por:
(7)
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Da definição de derivada:
f’’(x)= lim h→0 (f’(x+h) – f’(x))/h
Seja:
(i) f’(x+h) = (x+h)2 – 1
= 3x2 + 6xh + 3h2 – 1
(ii)f’(x) = 3x2 – 1
(i)-(ii) = + 6xh + 3h2
Logo:
f’’(x)= lim h→0 (6xh + 3h2)/(h)
= lim h→0 h*(6x + 3h)/(h)
= lim h→0 (6x + 3h)
= 6x
LIMITES E DERIVADAS
Exemplo 7: Se f(x) = x3 – x e f’(x) = 3x2 – 1, então,
encontrar f’’(x).
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OBRIGADO !!!
FIM !!!
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