Логические основы компьютера

Логика

• ЛОГИКА — это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений.
• Логика изучает мышление как средство познания объективного мира. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира.
• Идеи и аппарат логики используется в кибернетике, вычислительной технике и электротехнике (построение компьютеров основано на законах математической логики).
• В основе логических схем и устройств ПК лежит специальный математический аппарат, использующий законы логики. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.

​

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

• В основе работы логических схем и устройств персонального компьютера лежит специальный математический аппарат - математическая логика. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.

​

Английский математик Джордж Буль (1815 — 1864 г.) создал логическую алгебру, в которой высказывания обозначены буквами. Сочинение Джорджа Буля, в котором подробно исследовалась эта алгебра, было опубликовано в 1854 г. Оно называлось «Исследование законов мысли» («Investigation of the Laws of Thought»). Отсюда ясно, что Буль рассматривал свою алгебру как инструмент изучения законов человеческого мышления, то есть законов логики.�Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. В математической логике суждения называются высказываниями.

​

ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.

Например:

Земля - планета Солнечной системы. (Истинно)�2+8<5 (Ложно)�5 · 5=25 (Истинно)�Всякий квадрат есть параллелограмм (Истинно)�Каждый параллелограмм есть квадрат (Ложно)�2 · 2 =5 (Ложно)

Не всякое предложение является высказыванием:

1) Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.�- “Какого цвета этот дом?”�- “Пейте томатный сок!”�- “Стоп!”�2) Не являются высказываниями и определения.�“Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны”.�Определения не бывают истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов.

3) Не являются высказываниями и предложения типа “Он сероглаз” или “х- 4х + 3=0” - в них не указано о каком человеке идет речь или для какого числа х верно равенство. Такие предложения называются высказывательными формами.

�

​

Высказывания могут быть простыми и сложными.

Высказывание считается простым, если никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание

Некоторые высказывания можно разложить на отдельные части, при этом каждая такая часть будет самостоятельным высказыванием.

​

Например, высказывание “Сегодня в 4 часа дня я был в школе, а к 6 часам вечера пошел на каток” состоит из 2 частей.

Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание - простым.

�

Практическое задание

• Определи, какие из перечисленных фраз является высказываниями:
• Обязательно займись каким-либо видом спорта;
• Переводчик должен знать хотя бы два языка;
• Ты играешь в хоккей?
• Два больше трех.
• Земля – планета Солнечной системы.
• Каждый параллелограмм является квадратом.
• Волга впадает в каспийское море.
• В феврале 30 дней.
• Остров – это часть суши, со всех сторон окруженная водой.
• Все девочки любят играть в куклы.

Практическое задание

• Какие из следующих высказываний являются истинными, а какие ложными?

1. Город Москва – столица России.�2. Число 12 – простое.�3. 7*3=1.�4. 12<15.�5. Сканер – устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.�6. Клавиатура – устройство ввода информации.

​

Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний логическими связками — НЕ, И, ИЛИ. Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок.

Например, даны простые высказывания:� На улице идет дождь.

На улице светит солнце.

На улице пасмурная погода.�Составим из них сложные высказывания:� На улице идет дождь и на улице светит солнце.� На улице светит солнце или на улице пасмурная погода.� Неверно что на улице идет дождь.

Практическое задание

• Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя связку "И", "ИЛИ":

Например:

• Все ученики изучают математику
• Все ученики изучают литературу => Все ученики изучают математику и литературу

1) Марина старше Светы. Оля старше Светы.

2) Одна половина класса изучает английский язык. Вторая половина класса изучает немецкий язык.

3) В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.

4) Часть туристов любит чай. Остальные туристы любят молоко

• В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0.
• Простые высказывания назвали логическими переменными и для простоты записи их обозначают латинскими буквами: А, В, С…

Луна является спутником Земли. А = 1� Москва – столица Германии. В = 0

• Сложные высказывания называются логическими функциями. Значения логической функции также может принимать значения только 0 или 1.

БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций. Логические связки И, ИЛИ и НЕ заменяются логическими операциями: конъюнкцией, дизъюнкцией и инверсией. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любую логическую функцию.

Логические операции

1. Операция отрицания (инверсия)

​

2) Логическое умножение (конъюнкция)

​

​

3) Логическое сложение (дизъюнкция)

​

​

Логические операции

4) Импликация (следование)

​

​

5) Эквивалентность

​

​

6) Исключающее ИЛИ

1. Отрицание

2. Скобки

3. Умножение, импликация, эквивалентность

4. Сложение

​

Приоритет операций

Практическое задание

•  Найдите значения логических выражений:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

​

​

Практическое задание

• Пусть А= "это утро ясное", а В= "это утро теплое". Выразите следующие формулы на обычном языке: �

​

�

Домашнее задание

1. Даны простые высказывания: А= {15>13}, В={4=5}, C= {7<4}. Определите истинность составных высказываний:�

​

​

2. При каких значениях числа Х логическое выражение не ((Х>15) или (Х<-5)) примет значение:

• ложь,
• истина.

​