7 клас

​

ОМ ⟂ АВ, то АМ=МВ

І навпаки, якщо АМ=МВ, то ОМ ⟂ АВ

​

Відомо: К (О; ОЕ), CD, EF- хорди;  CD = EF, OG⟂CD,  OH⟂EF

​

Довести: OG= OH

Доведення

Відстанями  від точки О до хорд CD і EF є довжини перпендикулярів, проведених з точки О до цих хорд. Так, як  OG⟂CD,  OH⟂EF, то  OG,  OH -  відстані від центра кола точки О до хорд.

​

Проведемо радіуси ОС, OD та OE, OF.

Розглянемо ΔCOD та ΔEOF:

                  CD = EF - за умовою,

                  ОС = OF - як радіуси,

                  OD = OE - як радіуси

Отже, ΔCOD = ΔEOF за трьома сторонами. Оскільки,  OG⟂CD,  OH⟂EF,  то OG,  OH  - висоти рівних трикутників. Маємо: OG =  OH 

Шукай рівні трикутники!

Відстанями  від точки О до хорд CD і EF є довжини перпендикулярів, проведених з точки О до цих хорд. Так, як  OG⟂CD,  OH⟂EF, то  OG,  OH -  відстані від центра кола точки О до хорд.

​

Як відомо, якщо OG⟂CD,  OH⟂EF, то СG=GD,  EH=HF. Оскільки, СD=EF за умовою, то   GD = HF.

​

Проведемо радіуси  OD та  OF.

Розглянемо ΔOGD (∠G=90°) та ΔOHF(∠H=90°):

                  GD = HF - за доведеним,

                  OD = OF - як радіуси

Отже, ΔOGD  = ΔOHF за гіпотенузою та катетом. Маємо: OG =  OH 

​

Згадуйте властивості та базові твердження

Відстанями  від точки О до хорд CD і EF є довжини перпендикулярів, проведених з точки О до цих хорд. Так, як  OG⟂CD,  OH⟂EF, то  OG,  OH - вказані відстані і OG =  OH  - за умовою.

​

Проведемо радіуси  OD та  OF.

Розглянемо ΔOGD (∠G=90°)  та ΔOHF (∠H=90°):

                  OG =  OH  - за умовою,

                   OD = OF - як радіуси

Отже, ΔOGD = Δ ΔOHF за катетом і гіпотенузою.  Маємо:    GD = HF.

​

Як відомо, якщо   OG⟂CD,  OH⟂EF і GD = HF, то  СD=EF .  

Відомо: К (О; ОЕ), CD, EF- хорди;   OG⟂CD,  OH⟂EF, OG= OH

​

Довести: CD = EF

Доведення

Шукай рівні трикутники!

Згадуйте властивості та базові твердження

7 клас

Взаємне розміщення прямої та кола на площині

Немає спільних точок

​

Коло і пряма НЕ ПЕРЕТИНАЮТЬСЯ

2 спільних точки

​

Коло і пряма ПЕРЕТИНАЮТЬСЯ

1 спільна точка

​

Коло і пряма ДОТИКАЮТЬСЯ

a    -   ДОТИЧНА до круга

a  - відрізок (промінь)

       дотичний до кола

a    -   ДОТИЧНА  до кола

Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні.

​

Розвʼязання

Проведемо радіус ОА. За властивістю радіуса, проведеного в точку дотику, ОА ⟂ МА, тобто ∠ОАМ=90°. За побудовою АВ - внутрішній промінь ∠ОАМ, тому ∠ОАМ = ∠ОАВ+∠МАВ за основною властивістю величини кута. Звідси, ∠МАВ = ∠ОАМ - ∠ОАВ. Маємо:∠МАВ =90°-20° = 70°.

Розглянемо ΔАМВ: АМ=МВ - як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола   → ΔАМВ - рівнобедрений і  ∠МАВ = ∠МВА = 70°.

​

 ∠АМВ + ∠МАВ + ∠МВА  = 180°  за теоремою про суму кутів трикутника → ∠АМВ  = 180°-( ∠МАВ + ∠МВА) = 180°- 2•70° = 40°

Відповідь: 40°