ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ �ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

Πήλιουρας Ανδρέας-Νικηφόρος

Πουλίδης Βαγγέλης

Τι είναι η εφαπτομένη της παραβολής;

Η εφαπτομένη της παραβολής είναι διαφορετική για κάθε σημείο της παραβολής. Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα παράδειγμα παραβολής, όπου η ευθεία ε αποτελεί την εφαπτομένη του σημείου Μ₁.

Τύπος

• H εφαπτομένη της παραβολής y²=2px στο σημείο της M₁(x₁,y₁) έχει εξίσωση: yy₁=p(x+x₁)
• Αντίστοιχα, η εφαπτομένη της παραβολής x²=2py στο σημείο της M₁(x₁,y₁) έχει εξίσωση: xx₁=p(y+y₁)

​

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Α’ΟΜΑΔΑ

Άσκηση 5

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y=1/4 x² σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:

(i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία y=x+1

(ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία y=-2x

(iii) Όταν διέρχεται από το σημείο A(0,-1)

Προεργασία για να λύσουμε τα υποερωτήματα

• Γράφουμε την εξίσωση της παραβολής στην γενική μορφή: x²=2*2*y

(Άρα p=2)

• Η γενική εξίσωση της εφαπτομένης είναι: xx₁=2(y+y₁)
• Οπότε λυμένη ως προς y γίνεται:

​

Α’ υποερώτημα

• Για να είναι παράλληλη με την y=x+1 πρέπει να έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης

Άρα πρέπει , άρα x₁=2 και άρα y₁=1

• Η εξίσωση γίνεται λοιπόν y=x-1

Β’ υποερώτημα

• Για να είναι κάθετη με την y=-2x , πρέπει το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους να είναι ίσο με -1.

Άρα κάνουμε: άρα x₁=1 και

• Η εξίσωση γίνεται

​

Γ’ υποερώτημα

• Αφού διέρχεται από το Α(0,-1) τότε απλώς αντικαθιστούμε την σχέση με τις συντεταγμένες του σημείου:

Για x=0 και y=-1 :

y₁=1 και x₁=2 ή x₁=-2

• Οι εξισώσεις γίνονται y=x-1 και y=-x-1

Άσκηση 6

Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής y= 1/4 x² στα σημεία A(4,4) και τέμνονται κάθετα και πάνω στη διευθετούσα της.

Λύση

• Γράφουμε την εξίσωση της παραβολής στην γενική μορφή x²=2*2*y

(Άρα p=2)

• Η εφαπτομένη στο σημείο Α(4,4) γράφεται 4x=2(y+4)
• Η εφαπτομένη στο γράφεται
• Λύνουμε ως προς y και γίνονται y=2x-4 και
• Όμως το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης τους κάνει -1, άρα είναι κάθετες.

​

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Β’ΟΜΑΔΑ

Άσκηση 1

Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος (x-3)² + y² =8 εφάπτεται της παραβολής y² =4x . (Δηλαδή, έχουν τις ίδιες εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τους).

​

Λύση

• Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

​

• Άρα καταλήγουμε σε 2 σημεία που ονομάζουμε Α(1,2) και Β(1,-2)
• Αντικαθιστούμε στην εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής τις συντεταγμένες του Α και γίνεται: x-y+1=0

​

Λύση

• Για να δούμε αν πράγματι εφάπταται με τον κύκλο, εφαρμόζουμε τον τύπο απόστασης σημείου(κέντρο κύκλου) από ευθεία, η οποία αναμένουμε να βγει ίση με την ακτίνα.

​

​

• Πράγματι, η ευθεία απέχει από το κέντρο του κύκλου όσο η ακτίνα του. Άρα εφάπταται του κύκλου.

​

Λύση

• Για το σημείο Β αρκεί να πούμε ότι ο άξονας x’x είναι άξονας συμμετρίας του κύκλου και της παραβολής. Άρα έχουμε την εφαπτομένη με εξίσωση x+y+1=0

Άσκηση 6

Αν η εφαπτομένη της παραβολής y² =2px στο σημείο της A τέμνει τη διευθετούσα στο σημείο B και τον άξονα y'y στο σημείο K, να αποδειχτεί ότι

Προεργασία για να λύσουμε τα υποερωτήματα

• Η εφαπτομένη της παραβολής στο Α(x₁,y₁) έχει εξίσωση yy₁=p(x+x₁)
• Για να βρούμε το σημείο Κ, βάζουμε όπου x το 0 και γίνεται: y=

Άρα το σημείο Κ είναι το

• Για να βρούμε το σημείο Β, βάζουμε όπου x το

Άρα το σημείο Β είναι το

​

Α’ υποερώτημα

• Για να είναι ορθή η γωνία που σχηματίζει το ΕΒ με το ΑΕ, πρέπει:

Β’ υποερώτημα

• Αντίστοιχα:

Γ’ υποερώτημα

• Το ΑΕΒ είναι ορθογώνιο. Όμως και ΚΕ είναι κάθετο στο ΑΒ.
• Συγκρίνω όμοια τρίγωνα ΚΑΕ και ΚΕΒ

Άρα ισχύει: