22.10.2025
Сьогодні
Урок
№
9-10
Геометрія
Систематизація та узагальнення знань.
Підсумок з теми
Розділ 1. Чотирикутники
22.10.2025
Сьогодні
Повідомлення теми уроку та мотивація
навчально-пізнавальної діяльності учнів
Мета уроку:� повторити і узагальнити знання з теми; закріпити поняття про чотирикутники, їх основні види та властивості; розв'язувати задачі на обчислення периметра, знаходження кутів
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Чотирикутником називають фігуру, що складається із чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. При цьому жодні три із цих точок не лежать на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не мають жодних інших спільних точок, крім даних.
Види чотирикутників
Опуклі
Неопуклі
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
У чотирикутнику тільки один із кутів може бути більшим
за розгорнутий.
Всі внутрішні кути менші за 180◦
Один з внутрішніх кутів більший за 180◦
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Класифікація чотирикутників
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Чотирикутник
ABCD
Точки A, B, C, D – вершини чотирикутника.
Відрізки
AB, BC, CD, DA – сторони чотирикутника.
Вершини A і B – сусідні вершини (кінці однієї сторони чотирикутника)
Вершини A і C – протилежні вершини (неcусідні вершини чотирикутника)
Сторони AB і BC – сусідні (суміжні) (мають спільну вершину)
Сторони AB і CD – протилежні (не мають спільної вершини)
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Чотирикутник
KLMN
Кути K і L – сусідні кути (вершини цих кутів – сусідні вершини чотирикутника).
Кути K і M – протилежні кути (вершини цих кутів – протилежні вершини чотирикутника)
P_KLMN = KL + LM + MN + NK
Периметр чотирикутника –
сума довжин усіх його сторін.
Кути KLM, LMN, MNK і NKL – кути чотирикутника.
Відрізки KM і LN – діагоналі чотирикутника.
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Периметр чотирикутника
Периметром чотирикутника називають суму довжин усіх його сторін.
Властивість сторін чотирикутника
Щоб установити, чи можна із чотирьох відрізків а, b, с, а утворити чотирикутник, перевірте, чи є найдовший із чотирьох відрізків
меншим від суми трьох інших.
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Теорема. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°.
Властивість кутів чотирикутника
Дано: чотирикутник ABCD .
Довести: ∠A+ ∠B+ ∠C + ∠D = 360°.
Доведення. У даному чотирикутнику ABCD проведемо діагональ АС. Одержали два трикутники - ΔАВС і ΔАCD.
Тоді ∠A= ∠BAC + ∠CAD, ∠ C=∠BCA+∠ACD.
Звідси: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D =
=∠BAC +∠CAD+∠B+ ∠BCA + ∠ACD+ ∠D=
=(∠BAC+ ∠B+ ∠BCA)+(∠ACD + ∠D+ ∠CAD)=
= 180° + 180° = 360°.
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Чотирикутник, у якому протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.
Висотою паралелограма називають перпендикуляр, проведений із будь-якої точки однієї сторони до паралельної їй сторони (або до її продовження).
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Теорема. У паралелограмі:
1) протилежні сторони попарно рівні;
2) протилежні кути кут попарно рівні.
Паралелограм є опуклим чотирикутником.
У паралелограмі протилежні сторони рівні й протилежні кути рівні.
Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
Властивості паралелограма
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Теорема. Якщо в чотирикутнику:
Ознаки паралелограма
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Типова задача
Дано: Чотирикутник АВСD; AD = BC, ∠ CAD = ∠ ACB.
Довести: ABCD – паралелограм.
Доведення. Нехай ABCD – даний чотирикутник (мал.)
1) Розглянемо ΔCAD і ΔАСВ. АС - їхня спільна сторона, AD = BC, ∠ CAD = ∠ACB (за умовою).
2) Отже, ΔCAD = ΔАСВ(за двома сторонами та кутом між ними).
3) Тому AB = CD. Але тоді в чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно рівні, тому він є паралелограмом.
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі
BD=AC
Властивості прямокутника
AB=CD, BC=AD
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
Різносторонні кути при діагоналі рівні. Діагональ ділить на два рівні прямокутні трикутники.
Периметр прямокутника
P = 2(AB + BC).
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
2. Діагоналі прямокутника рівні.
1. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл.
Властивості діагоналей прямокутника
3. Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддалена від усіх його вершин.
Розв'язання. 1) Нехай ∠ ADO : ∠ ODC = 2 : 3 .
Позначимо (∠ADO = 2x, ∠ODC = 3x.
Тоді 2х + 3x = 90°, x = 18°.
Тому ∠ADO = 2 · 18 = 36; ∠ODC = 3 ·18 = 54°.
2) ΔOCD - рівнобедрений (бо DO = ОС). Тому ∠OCD = ∠ODC = 54°.
У ΔОCD : ∠COD = 180° — 2 · 54° = 72°.
Отже, кут між діагоналями цього прямокутника дорівнює 72°.
Відповідь: 72°.
Задача. Діагональ ділить кут прямокутника у відношенні 2 : 3.
Знайти кут між діагоналями цього прямокутника.
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Теорема. Якщо в паралелограмі:
1) усі кути рівні, або
2) один кут прямий, або
3) діагоналі рівні, —
то паралелограм є прямокутником.
Ознаки прямокутника
3) Нехай у паралелограма ABCD діагоналі АС і BD рівні . AD - спільна сторона трикутників ABD і DCA. Отже, ΔАBD = ΔDCA (за трьома сторонами). Тому ∠BAD = ∠CDA. Але ж ∠ABC = =∠ADC, ∠BCD = ∠BAD. У паралелограма всі кути рівні між собою. Тому він є прямокутником (за п. 1 цієї теореми).
Доведення. 1) Оскільки всі кути паралелограма рівні, а їхня сума
дорівнює 360°, то кожний з них дорівнює 360° : 4 = 90°. А тому паралелограм є прямокутником.
2) Нехай кут А паралелограма АВCD прямий. Тоді ∠C = ∠A = 90°, ∠B = ∠D = 180° — ∠A = 180° — 90° = 90°. Отже, усі кути паралелограма прямі, а тому він є прямокутником.
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Типова задача
У колі із центром О проведено діаметри AC і BD (мал.) Визначити вид чотирикутника ABCD.
Розв'язання. 1) Оскільки АО = ОС, ВО = OD (як радіуси), то, за ознакою паралелограма, маємо, що ABCD - паралелограм.
2) Оскільки АС = BD (як діаметри), то, використовуючи ознаку прямокутника, маємо, що паралелограм АВCD є прямокутником.
Відповідь: прямокутник.
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Ромбом — називають паралелограм, у якого всі сторони рівні
Властивості ромба
1. Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°.
2. У ромба протилежні кути рівні.
3. Діагоналі ромба точкою перетину діляться навпіл.
4. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні й ділять його кути навпіл.
Периметр ромба
P = 4 ∙ AB
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Висота ромба
з тупого і гострого кута:
N
M
N
M
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Теорема. Якщо в паралелограмі: 1) дві сусідні сторони рівні, або 2) діагоналі перетинаються під прямим кутом, або 3) діагональ ділить навпіл кути паралелограма, - то паралелограм є ромбом.
Ознаки ромба
3) Діагональ DB ділить навпіл кут D паралелограма ABCD, тобто ∠ADB = ∠BDC (за умовою). Оскільки паралельні прямі АВ i DC перетнули січною DB, то ∠ABD = ∠BDC (як внутрішні різносторонні). Отже, ∠ADB = ∠ABD. Тому, за ознакою рівнобедреного трикутника, ΔABD – рівнобедрений і
AD = АВ. За п. 1 цієї теореми ABCD – ромб.
Доведення. 1) Нехай ABCD - паралелограм (див. мал.). Оскільки
AB = AD (за умовою) і AB = CD, AD = BC (за властивістю паралелограма), то
АB = AD = BC = CD. Отже, ABCD - ромб.
2) Нехай АС⊥ ВD . Оскільки OB = OD (за властивістю паралелограма), то ΔАОВ = ΔAOD (за двома катетами). Тому АВ = AD. За п. 1 цієї теореми ABCD – ромб.
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Типова задача
Довести, що коли в чотирикутнику всі сторони рівні, то цей чотирикутник — ромб.
Доведення. Нехай АВ = BC = CD = DA (див. мал.).
1) Оскільки в чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно рівні, то, за ознакою паралелограма, маємо, що ABCD - паралелограм.
2) У паралелограма ABCD сусідні сторони рівні. Тому ABCD – ромб (за ознакою ромба).
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні.
1. Усі кути квадрата прямі.
2. Діагоналі квадрата між собою рівні.
4. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні й точкою перетину діляться навпіл.
5. Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл, тобто утворюють кути 45° зі сторонами квадрата.
6. Точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин:
AO = BO = CO = DO.
Периметр квадрата
P = 4 ∙ AB
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Теорема
1) Якщо діагоналі прямокутника взаємно перпендикулярні, то він є квадратом.
2) Якщо діагоналі ромба між собою рівні, то він є квадратом.
Ознаки квадрата
2) Ромб є паралелограмом, а паралелограм з рівними діагоналями є прямокутником. Отже, у розглядуваного ромба всі кути прямі, а тому він є квадратом.
Доведення. 1) Прямокутник є паралелограмом, а паралелограм із взаємно перпендикулярними діагоналями є ромбом.
Отже, у заданого прямокутника всі сторони рівні, а тому він є квадратом.
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Типова задача
Доведіть, що коли в чотирикутника всі сторони рівні й усі кути рівні, то цей чотирикутник — квадрат.
Доведення.
1) Оскільки в чотирикутника всі кути рівні, то, за ознакою прямокутника, він є прямокутником.
2) Оскільки в прямокутника всі сторони рівні, то він є квадратом.
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
(Усно.) . Яку найменшу кількість разів потрібно перегнути чотирикутний шматок тканини, щоб переконатися в тому, що він має форму квадрата?
Сьоме листопада
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Укажіть відрізок, що є діагоналлю чотирикутника ABCD.
A. AB Б. BD B. BC Г. AD
Завдання №1
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Знайдіть тупий кут паралелограма, якщо його гострий кут дорівнює 35°.
A. 125° Б. 135° В. 145° Г. 155°
Завдання №2
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Знайдіть сторону квадрата, якщо його периметр дорівнює 36 см.
А. 4 см Б. 6 см В. 9 см Г. 12 см
Завдання №3
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Периметр прямокутника дорівнює 24 см, а одна з його сторін на 2 см більша за другу. Знайдіть довжину меншої сторони прямокутника.
А. 5 см Б. 6 см В. 7 см Г. 8 см
Завдання №4
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
ABCD – ромб, ∠A = 50° (мал. ).
Знайдіть ∠ABD.
A. 55° Б. 50° B. 75° Г. 65°
Завдання №5
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Укажіть правильне твердження:
А. Якщо діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні, то він є ромбом.
Б. Відношення периметра ромба до його сторони є сталим для всіх ромбів.
В. Якщо діагоналі чотирикутника рівні, то він є прямокутником.
Г. Відношення периметра прямокутника, який не є квадратом, до його найбільшої сторони є незмінним для всіх прямокутників.
Завдання №6
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Завдання №7
Знайдіть найбільший кут чотирикутника, у якого градусні міри кутів пропорційні числам 2; 3; 5 і 8.
A. 120° Б. 130° В. 150° Г. 160°
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Висоти, які проведено з вершини тупого кута паралелограма, утворюють між собою кут 30°.
Знайдіть тупий кут паралелограма.
A. 120° Б. 130° В. 150° Г. 160°
Завдання №8
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Знайдіть гострий кут ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, різниця яких дорівнює 40°.
A. 25° Б. 30° B. 50° Г. 60°
Завдання №9
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
Бісектриса кута D паралелограма ABCD ділить сторону АВ на відрізки АК і КВ так,
що АК : KB = 1 : 3. Знайдіть АВ, якщо периметр паралелограма дорівнює 60 см.
А. 26 см Б. 24 см В. 20 см. Г. 15 см
Завдання №10
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
З вершини тупого кута А ромба ABCD проведено висоту АК. ∠CAK = 30°, AC = 6 см.
Знайдіть периметр ромба.
А. 18 см Б. 24 см В. 30 см Г. 36 см
Завдання №11
22.10.2025
Сьогодні
Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь
У △АВС (∠C = 90°, AC = ВС) вписано квадрат KLMN так, що
K ∈ AB, L ∈ AB, М ∈ CB, N ∈ AC.
Знайдіть периметр квадрата, якщо АВ = 12 см.
А. 24 см Б. 20 см В. 12 см Г. 16 см
Завдання №12
22.10.2025
Сьогодні
Формування вмінь
1. Б.
2. В.
3. В.
4. А.
5. Г.
6. Б
7. Г.
8. В.
9. В.
10. Б.
11. Б.
12. Г.
Відповіді:
22.10.2025
Сьогодні
Підсумок уроку. Усне опитування
1. Доведіть теорему про суму кутів чотирикутника.
2. Який чотирикутник називається паралелограмом?
3. Назвіть властивості паралелограма.
4. Які ознаки паралелограма?
5. Що таке прямокутник; ромб; квадрат; трапеція; рівнобічна трапеція?
6. Сформулюйте та доведіть теореми про властивості діагоналей прямокутника ромба.
7. Які властивості квадрата?
8. Доведіть теореми про властивості середньої лінії трапеції.
Бліц-опитування
22.10.2025
Сьогодні
Завдання для домашньої роботи
Опрацюй презентацію.
Виконати завдання на с.41 №1-4.
22.10.2025