04.11.2024

Сьогодні

Урок

№

27-28

Алгебра

Розділ 1. Алгебраїчні вирази.

Лінійні рівняння з однією змінною

Систематизація знань та підготовка до тематичного оцінювання.

Тематична контрольна (діагностувальна) робота №3

04.11.2024

Сьогодні

Перевірка домашнього завдання

Перевіряємо

домашнє

завдання

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Повторимо…

Числові вирази утворюють із чисел за допомогою знаків

арифметичних дій і дужок.

Число, що є результатом виконання всіх дій у числовому виразі, називають значенням виразу.

Наприклад, 12 ∙ 3 - 9 = 27, тому 27 є значенням числового виразу 12 ∙ 3 - 9 .

Якщо числовий вираз містить дію, яку неможливо виконати,

то кажуть, що вираз не має змісту (смислу). Наприклад, вираз

5 : (8 : 2 - 4) не має змісту, бо 8:2-4 = 0 і наступну дію

5 : 0 виконати неможливо.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Вираз зі змінною — це запис, у якому використовують букви, що позначають змінні, числа, знаки

арифметичних дій і дужки.

Наприклад,знайдіть значення виразу:

1) 10а - 1,2, якщо: а) а = 0,1; б) а = -11;

2) 5а + 56 - 5с, якщо а + b - с = -2.

Розв'язання

1. Якщо а = 0,1, то 10 ∙ 0,1 - 1,2 = -0,2.

Якщо а = -11, то 10 ∙ (-11) - 1,2 = -111,2.

2. Якщо а + Ь - с = -2, то 5а + 5b - 5с = 5(а + Ь - с) = 5 ∙ (-2) = -10.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Значення виразу зі змінними залежить від значень змінних, що входять до нього.

Усі значення змінної, допустимі для даного виразу, утворюють область допустимих значень (ОДЗ) змінної цього виразу.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Вираз називається цілим, якщо він не містить дію ділення на вираз зі змінними. У цілого раціонального виразу ОДЗ кожної змінної — будь-яке число.

Якщо вираз містить лише дії додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до квадрата, куба чи іншого степеня з натуральним показником, то такий вираз називають раціональним.

Раціональні вирази

Цілі вирази

Дробові вирази

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Рівність, ліва і права частини якої є тотожно

рівними виразами, називається тотожністю.

Рівності, що виражають властивості додавання та множення чисел, є прикладами тотожностей:

а + b =b+ а;

(а + b) + с = а + (b + с);

ab = bа;

(ab) с = а (bс);

a (b + с) = ab + ас.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Вирази, відповідні значення яких є

рівними при будь-яких значеннях змінних, що входять до них, називають тотожно рівними.

Наприклад, вирази 2 (х - 1) - 1 і 2х - 3 — тотожно рівні, а вирази х⁵ - х і 5х³ - 5х не є тотожно рівними.

Ось ще приклади тотожно рівних виразів:

7 (а + с) і 7а + 7с;

Зх + у і у + Зх;

а -(b + с) і а - b - с.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведення тотожності

Для того щоб довести, що дана рівність є тотожністю, використовують такі прийоми (методи):

• • тотожно перетворюють одну із частин даної
• рівності, отримуючи другу частину;
• • тотожно перетворюють кожну із частин даної
• рівності, отримуючи той самий вираз;
• • показують, що різниця лівої і правої частин даної, рівності тотожно дорівнює нулю.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Типові задачі

1. Доведіть тотожність:

2 (За + 4b) + 3 (а – 7b) - 7 (2а – 7b) = -5а + 36b

Розв’язання.

Спростимо ліву частину рівності: 2(За + 4b) + 3 (а -7b)-7 (2а-7b)=

= 6а + 8b + За – 21b - 14а + 49b = -5а + 36b.

Тотожність доведено.

2. Доведіть, що рівність (а + 2)(а-3) = а² - 6 не є тотожністю.

Розв’язання. Щоб довести, що рівність не є тотожністю, достатньо навести контрприклад, указати таке значення змінної (змінних, якщо їх кілька), при якому дана рівність не справджується. Наприклад, при а = 1 маємо:

(а + 2) (а - 3) = (1 + 2) (1 - 3) = -6; а² -6 = 1-6 = -5.

Отже, дана рівність не є тотожністю.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Степенем числа а з натуральним показником п (п > 1)

називають добуток n множників, кожний з яких дорівнює а.

Степенем числа а з показником 1 називають саме число а.

Вираз а читають так: «а в степені n» або «n- енний степінь числа а». Вирази а² і а³ називають відповідно квадратом числа а і кубом числа а.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Простіші властивості степенів

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Типові задачі і вправи

Запишіть вираз 27 ∙ 3 ∙ 9 у вигляді степеня з основою:

1)3; 2)9; 3)27.

1) 27 ∙ 3 ∙ 9= 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ З ∙ 3 = З⁶;

2) 27 ∙ 3 ∙ 9 = 9 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 9 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 9³;

3) 27 ∙ 3 ∙ 9= 27 ∙ 27 = 27²

Розв’яжіть рівняння: 1) (х + 5)² = 0; 2) (2х + 7)⁵(х - 9)⁴ = 0.

1) (х + 5)² = 0, звідси х+5=0 і х= -5.

2) (2х + 7)⁵(х - 9)⁴ = 0, звідси:

(2х + 7)⁵ = 0, або (х-9)⁴ = 0,

2х + 7 = 0, х - 9 = 0,

х=3,5; х = 9.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Порядок виконання дій у виразах зі степенями

У виразах, що містять степені, спочатку виконують піднесення до степеня, потім — множення або ділення, а останніми — додавання або віднімання. Тут і далі буквені показники є натуральними числами.

Знайти значення виразу:

1) 3 - 7 ∙ 2³; 2) (2 + (-3)⁴)²; 3) ((-І)⁵ + (-1)⁶)⁸;

Розв’язання.

1) 3 - 7 ∙ 2³ =3 -7∙ 8 = 3 - 56 = -53;

2) (2 + (-3)⁴)² = (2 + 81)² = 83² = 6889;

3) ((-І)⁵ + (-1)⁶)⁸ = (-1 + 1)⁸ = 0⁸ = 0.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Порівняння степенів

Знак степеня залежить від знака основи степеня та від парності чи непарності показника степеня.

Наприклад, значення 5³ є додатним числом, а значення (-5)³ є від’ємним числом, тому:

5³ > (- 5)³

Чи завжди треба знаходити значення степенів, щоб їх порівняти?

Ні.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

а³а² = (ааа) ∙ (аа) = ааааа = а⁵

аⁿа^m = а^m+n

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність:

Множення степенів з однаковими основами

Щоб помножити степені з однаковими основами, основу

залишають тією самою, а показники степенів додають. Наприклад, З⁷ ∙ З⁵ = 3⁷⁺⁵ = З¹²;

а⁷а²а³ = а⁷⁺²⁺³ = а¹²

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

а⁴ : а² = (аааа) : (аа) = аа

аⁿ : а^m = а^m-n

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність:

Ділення степенів з однаковими основами

Щоб поділити степені з однаковими основами, основу

залишають тією самою, а показники степенів віднімають. Наприклад, З⁷ : З⁵ = 3^7-5 = З²;

а⁷ : а² = а^7-2= а⁵

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

(а⁷)³ = а⁷ ∙ а⁷ ∙ а⁷ = а⁷⁺⁷⁺⁷ = а^7∙3 = а²¹.

(а ^m ) ⁿ = а^m∙n

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність:

Піднесення степеня до степеня

Щоб піднести степінь до степеня, основу залишають тією

самою, а показники степенів перемножують.

Наприклад, (З⁷) ⁵ = 3^7∙5 = З^35;

((З²) ⁵ )⁷= 3^2∙5∙7 = З⁷⁰

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

(ab)³ = ab ∙ ab ∙ ab = (ааа) ∙ (bbb) = а³Ь³

(аb) ^m = а^m ∙ b ^m

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність:

Піднесення добутку до степеня

Щоб піднести добуток до степеня, потрібно піднести до цього степеня кожний з множників і отримані результати перемножити. Наприклад, (7ab)² = 7²а²Ь² = 49а²Ь²

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Застосування властивостей степеня

до розв'язування вправ

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

«Шпаргалка»

Таблиця квадратів

і кубів

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Типові вправи і задачі

№1. Спростити вираз (а²)³ ∙ (а⁴а)⁶.

Розв’язання: (а²)³ ∙ (а⁴а)⁶ = а⁶ ∙ (а⁵)⁶ = а⁶а³⁰ = а³⁶.

Відповідь: а³⁶

№2. Подати у вигляді степеня вираз: 25а²b⁴

Розв’язання: 25а²b⁴ = 5²а² (b²)² = (5аb²)²

Відповідь: (5аb²)²

№3. Порівняти значення виразів 7⁴⁰ і 48²⁰.

Розв’язання. Оскільки 7⁴⁰ = (7²)²⁰ = 49²⁰ і 49²⁰ > 48²⁰, то 7⁴⁰ > 48²⁰.

Відповідь: 7⁴⁰ > 48²⁰.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Цілі вирази - числа, змінні, їхні степені й добутки - називають одночленами

Вирази а + с²; с³ – 5х; 0,9а²: у - не є одночленами, оскільки містять дії додавання, віднімання, ділення.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Одночлен стандартного вигляду

Якщо одночлен є добутком, що має один числовий множник, записаний на першому місці, а інші множники є степенями різних змінних, то такий одночлен називають одночленом стандартного вигляду.

Наприклад, 4а² ∙ (-9)ас = -36а³с.�Звівши одночлен -36а³с, кажуть, що звели його до стандартного вигляду.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Коефіцієнт одночлена

Числовий множник одночлена стандартного вигляду називають коефіцієнтом цього одночлена

Наприклад, -36а³с – коефіцієнт число ( -36) .�

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, які він містить. Якщо одночлен не містить змінних (тобто є числом), то вважають, що його степінь

дорівнює нулю.

Наприклад, одночлен 4х²с⁷у³ - це одночлен 12-го степеня,

адже 2 + 7 + 3 = 12.

Якщо одночлен не містить змінних, то є одночленом 0-го степеня. Так, наприклад, одночлен -17 є одночленом 0-го степеня.

Степінь одночлена

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Щоб піднести одночлен до n-го степеня, піднесіть до цього степеня кожний його множник.

В одночленах:

• числовий множник 1 не записують;

• від числового множника -1 залишають тільки

знак «-» перед буквеною частиною.

Під час множення одночленів використовують властивості множення та правило множення степенів.

(-х⁵у⁸а)⁵ =

=(-1)⁵ ∙ (х⁵)⁵ ∙ (у⁸)⁵ ∙ а⁵ =

=-х²⁵у⁴⁰а⁵.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Стандартний вигляд одночлена

Щоб подати одночлен у стандартному вигляді:

1)знайдіть добуток числових множників і результат запишіть першим множником;

2) знайдіть добуток усіх степенів з однаковими основами і результати запишіть наступними множниками.

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Степенем одночлена називається сума показників степенів змінних, що входять до нього

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Чи є тотожно рівними вирази:

1) Зb + 4b і 7b; 2) а + а + а і а³;

3) m + 2а і 2а + m; 4) 3(х - 2) і Зх - 2?

Завдання №1

1

рівень

Виконай самостійно

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Подайте у вигляді степеня добуток:

1) 4 ∙ 4 ∙ 4; 2) -3 ∙ (-3) ∙ (-3) ∙ (-3) ∙ (-3).

Завдання №2

1

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Виконайте дії:

1) х⁵х⁴; 2) х⁷ : х².

Завдання №3

1

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Знайдіть значення виразу:

1) 0,4 ∙ (-5)⁴; 2) 2⁵ - 4³ + (-1)⁵.

Завдання №4

2

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Подайте у вигляді степеня вираз:

1) (m³)⁴ ∙ m⁷; 2) (а²)⁷ : (а³)².

Завдання №5

2

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання №6

2

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання №7

3

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведіть тотожність:

2(а +b- с) + 3(а - с) - 5(а - с) = 2b.

Завдання №8

3

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Порівняйте вирази:

1) 5¹² і 25⁶;

2) 2³⁰ і З²⁰.

Завдання №9

4

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведіть, що сума трьох послідовних непарних натуральних чисел ділиться на 3.

Завдання №10

4

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Якого найменшого значення може набувати вираз:

1) m⁴ - 12; 2) (а + 2)⁸ + 7?

Завдання №11

4

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Відомо, що 4m²n = 9.

Знайдіть значення виразу:

1) 12m²n; 2) 4m⁴n².

Завдання №12

4

рівень

04.11.2024

Сьогодні

Формування вмінь

Відповіді:

8. 2(a + b - c) + 3(a - c) - 5(a - c) = 2b

2a + 2b - 2c + 3a - 3c - 5a + 5c = 2b

2a + 3a - 5a = 0

-2c - 3c + 5c = 0

2b = 2b

9. 1) 5¹² = 25⁶; 2) 2³⁰ < З²⁰.

10. n + (n + 1) + (n + 2) = n + n+ 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1);

11. 1) Вираз m⁴ ≥ 0 може набути найменшого значення 0, якщо m = 0, тоді вираз m⁴ – 12 може набути найменшого значення 0 – 12 = –12;

2) вираз (а + 2)⁸ ≥ 0 може набути найменшого значення 0, якщо а = –2 , тоді вираз (а + 2)⁸ + 7 може набути найменшого значення 0 + 7 = 7.

12.  1)27; 2) 25.

04.11.2024

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Знайдіть значення виразу:

(аⁿ⁺¹ ∙ bⁿbaⁿ⁺³)² ∙ (а(bа)^п+1)⁶,

якщо а^5(п+2) = 5, b^4(п+1) = 0,4.

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ

СКЛАДНОСТІ

04.11.2024

Сьогодні

Закріплення матеріалу

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ

СКЛАДНОСТІ

(аⁿ⁺¹ ∙ bⁿbaⁿ⁺³)² ∙ (а(bа)^п+1)⁶=

= (a ^n+1+n+3 b ⁿ⁺¹)² ∙ (a ∙ b ⁿ⁺¹ ∙ a ⁿ⁺¹)⁶ =

= (a ²ⁿ⁺⁴ ∙ b ⁿ⁺¹)² (a ⁿ⁺² ∙ b ⁿ⁺¹)⁶ =

= a ⁴ⁿ⁺⁸ ∙ b ²ⁿ⁺² ∙ a ⁶ⁿ⁺¹² ∙ b ⁶ⁿ⁺⁶ =

= a ^4n+8+6n+12 ∙ b ^2n+6n+6+2 =

= a ¹⁰ⁿ⁺²⁰ ∙ b ⁸ⁿ⁺⁸ =

= a ^10(n+2) ∙ b ^{8(n + 1)} =

= (a ⁵⁽ⁿ⁺²⁾ ∙ b ⁴⁽ⁿ⁺¹⁾)².

Якщо a ⁵⁽ⁿ⁺²⁾ = 2, b ⁴⁽ⁿ⁺¹⁾ = 0,5, то (2 ∙ 0,5)² = 1.

04.11.2024

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Опрацювати сторінки підручника 36-75.

​

Виконай завдання

Діагностувальної роботи

https://www.liveworksheets.com/c?a=s&g=7&s=Algebra&t=1xbfxclag87&m=d&e=n&sr=n&im=n&l=px&i=sndutsn&r=jw&f=dzdcuuzc&ms=uu&cd=p7mfemkadb63nlllhmplnxzplqungnkxxgkxx&mw=hs

​

04.11.2024

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Початкову ціну а грн за 1 альбом знизили спочатку на 10 %, а потім — ще на 10 %.

На скільки гривень менше коштують с альбомів після двох знижок?

ЖИТТЄВА

МАТЕМАТИКА

Відповідь:

0,19ас грн.

а ∙ с грн. — вартість c альбомів до знижки.

(0,9a) ∙ 0,9 = 0,81a грн — ціна одного альбому після знижки.

0,81ас грн — вартість с альбомів після знижки.

Різниця: ас – 0,81ас = 0,19ас (грн).

04.11.2024

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. Які вирази називаються раціональними? Цілими?

6. Які вирази називаються тотожно рівними?

7. Що таке тотожне перетворення виразу? Для чого їх використовують?

8. Як зводять подібні доданки?

9. Які правила розкриття дужок?

10. Як виносять спільний множник за дужки?

11. Що таке тотожність?

12. Що означає довести тотожність? Які є способи доведення тотожності?

13. Що таке степінь числа? Основа степеня? Показник степеня?

04.11.2024

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

14. Що означає піднести число а до натурального степеня n?

15. Який порядок виконання дій у виразі, що містить степені?

16. Які дії зі степенями можна виконувати?

17. Яка основна властивість степенів?

18. Сформулюйте властивість частки степенів з рівними основами.

19. Сформулюйте властивість добутку (частки) степенів з різними основами й рівними показниками.

20. Яка властивість піднесення степеня до степеня?

04.11.2024

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

21. Що таке одночлен?

22. Який вигляд одночлена називають стандартним?

23. Що називають коефіцієнтом одночлена? Степенем одночлена?

24. Як піднести одночлен до степеня?

04.11.2024

Сьогодні

Над чим ще потрібно подумати?

Чим ти сьогодні допоміг іншим?

Яке завдання сподобалось

найбільше?

Що ти сьогодні виконав?

Про що нове ти сьогодні дізнався?

Рефлексія. Вправа «5 питань»