Застосування �похідної

Зростання і спадання функції на проміжку

• Функція y=f(x) зростає на проміжку (a,b)

x₁ < x₂ →f(x₁) < f(x₂) для всіх

x₁,x₂ Є (a,b)

y=f(x)

Зростання і спадання функції на проміжку

• Функція y=f(x) спадає на проміжку (a,b)

x₁ < x₂ →f(x₁) > f(x₂) для всіх

x₁,x₂ є (a,b)

0

x

y

a

x₁

x₂

b

f(x₁)

f(x₂)

y=f(x)

Достатня ознака зростання, функції.

Якщо f ́ (x)>0, для всіх

xє(a,b)

​

Функція y=f(x) зростає на

проміжку (a,b).

​

то

​

​

Достатня ознака спадання, функції.

Якщо f ́ (x)<0, для всіх

xє(a,b)

​

Функція y=f(x) спадає на проміжку (a,b).

то

​

​

Зауваження

Якщо функція не перервна в кінці проміжку, то його можна приєднати до

проміжку зростання (спадання) функції.

Достатня і необхвдна ознака сталості функції

Якщо f ́ (x)=0,

для всіх xє(a,b).

​

Функція y=f(x) стала на проміжку (a,b)

0

a

b

y

x

y=f(x)

то

​

​

Алгоритм дослідження функції на монотоність�

• 1)D (f);
• 2)f ́ (x);
• 3)Дослідити знак похідної методом інтервалів
• 4)Вибрати проміжутки де:

f ́ (x)>0, то f(x)

f ́ (x)<0, то f(x)

Наприклад:

x1

x2

x3

f(x)

f ́(x)

Критичні точки функції

Це внутрішні точки із області визначення в яких похідна дорівнює нулю, або не існує.

​

• y=f(x) – неперервна функція
• X0 - внутрішня точка її області визначення

Якщо f ́ (x0) = 0

або f ́ (x0) не існує

​

X0 - критична точка

0

f ́(x0)=0

f ́(x0) – не існує

0

y

y

x

x

то

​

​

Алгоритм знаходження критичних точок функції

• 1)D(f);
• 2)f ́ (x);
• 3)Знайти точки в яких:

f ́ (x)–не існує

f ́ (x)=0

• 4)Перевірити: Чи є отримані точки внутрішніми точками області визначення і зробити висновок.

Точки екстремуму:

Точки мінімуму і максимуму xmin i xmax

X0– точка

максимуму

​

В околі точки

х0 f(x0) – найбільше значення

0

y

x

X0

f (x0)>f(x)

Х0 – точка

мінімуму

​

В околі точки х0 f(x0)– найменше значення

​

y

x

0

f (x0)<f(x)

x0

x0– точка

максимуму

​

Х0 – точка

мінімуму

​

f(x0)–максимум

функції

​

f(x0)–мінімум

функції

​

Точки

екстремуму

​

екстремум

функції

​

Необхідна ознака екстремуму

Якщо, x0 - точка

екстремуму

​

f ́(x0)–не існує

або f ́(x0)=0

​

то

​

​

0

x0

x0

y

y

x

x

f ́ (x0)–не існує

f ́(x0) = 0

Увага:

Точки екстремуму слід шукати лише серед критичних точок, але не кожна в якій f ́(x)=0 або не існує, є точкою екстремуму

f ́(x0)–

не існує

y=f(x)

y

y

x

x

x0

x0

f ́(x0) = 0

y= f(x)

f ́(x0)=0, але x0 не є точкою екстремуму

​

f ́(x0) не існує, але x0 не є точкою екстремуму

​

Достатня ознака екстремуму функції

Перша ознака

• Якщо при переході через х0 похідна f ́(x) змінює знак з “+” на “-”

Якщо х0 – критична точка, f ́(x0)–не існує або f ́ (x0)=0

​

x0

X0– точка

максимуму

​

то

​

​

f ́(x0) = 0

f ́(x0)–

не існує

y

y

x0

x0

x

x

Достатня ознака екстремуму функції

Перша ознака

• Якщо при переході через х0 похідна f ́(x) змінює знак з “-” на “+”

Якщо х0 – критична точка, f ́(x0)–не існує або f ́ (x0)=0

​

то

​

​

Х0 – точка

мінімуму

​

x0

x0

x

x0

x

y

y

f ́(x0) = 0

f ́(x0)–

не існує

Достатня ознака екстремуму функції

Друга ознака

f ́(x0) = 0

f ́ (x)<0

f ́(x0) = 0

f ́ (x)>0

X0– точка

максимуму

​

X0 – точка

мінімуму

​

y

y

x

x

x0

x0

Алгоритм дослідження функції на екстремум

• 1)D (f);
• 2)f ́ (x);
• 3) Знайти точки в яких

f ́ (x)–не існує

f ́ (x)=0

Знаходимо критичні точки х1 і х2;

4)Методом інтервалів розтавимо знаки на інтервалі похідної:

Наприклад:

​

f ́(x)

f(x)

x

x1

x2

• 5)Знайти точки екстремуму, враховуючи змінну знаку похідної: xmax= , xmin=

​

• 6) Знайти екстремум функції: fmin = f(xmin)=

fmax = f(xmax)=

​

​

Найбільше та найменше значення функції, неперервної на відрізку.

Якщо фунцкція f(x) неперервнна на відрізку та має на ньому скінчене число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Властивість

Приклади:

max f(x) = f(xmax)

x

x

xmin

xmax

a

b

y

y

f(xmin)

f(a)

f(b)

f(xmax)

f(xmax)

f(a)

f(b)

0

0

a

xmax

b

min f(x) = f(xmin)

[a;b]

[a;b]

max f(x) = f(xmax)

[a;b]

min f(x) = f(b)

[a;b]

Приклади:

max f(x) = f(a)

x

a

b

y

y

f(a)

f(b)

0

0

a

b

f(xmin)

xmin

f(b)

f(xmin)

f(xmax)

f(a)

xmin

xmax

min f(x) = f(xmin)

[a;b]

[a;b]

max f(x) = f(a)

[a;b]

min f(x) = f(a)

[a;b]

x

Якщо функція y=f(x) на проміжку x має лише одну точку екстремуму

x=a і якщо це точка максимуму, то f(а) – найбільше значення функції на даному проміжку. А якщо x=a – точка мінімуму, тоді f(a) – найменше значення функції на цьому проміжку.

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значення функції на проміжку [a;b]

• 1)D (f);
• 2)f ́ (x);
• 3) Знайти точки в яких

f ́ (x)–не існує

f ́ (x)=0

4) Вибрати ті критичні точки, які належать даному відрізку.

​

​

[a;b]

5) Обчислити f(x) в цих точках і f(a), f(b).

6) Порівняти значення і вибрати серед них найбільше і найменше

max f(x) = f(x1) =…

min f(x) = f(x2) =…

[a;b]

Особливі точки

• Дана функція диференційована, тобто має похідну в кожній точці області визначення.

​

• Як приклад: рух м’яча, падаючого на підлогу і пружно відстрибуючого від неї:

Графік руху м’яча.

t

h

t

v

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

0

0

Графік швидкості м’яча

Точки, в яких похідна не існує, називаються особливими точками функції.

y= |x|

Приклади особливих точок:

x

y

1

-1

0

1

,при x=0 похідна не існує, дотична стає вертикальною.

-1

1

2

1

y

x

8

-8

-2

-1