PERSAMAAN KUADRAT

Sumber: Majalah Griya Asri (modifikasi penulis)

PETA KONSEP

Seorang pemain golf memukul bola dengan kecepatan 40 m/s sehingga bola melambung ke udara. Tinggi h meter bola setelah t detik dilambungkan dipengaruhi oleh gaya gravitasi bumi, yaitu g = 10 m/s² sehingga diperoleh rumus h = 40t – 5t², di mana 5t² diperoleh dari ½ gt². Jika ketinggian bola mencapai 35 meter, dapatkah kalian menentukan waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai ketingian tersebut?

​

2.1 Pengertian Persamaan Kuadrat

1.1 BILANGAN BERPANGKAT PADA PAPAN CATUR

2.1 Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x secara umum dapat ditulis dalam bentuk ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c ∈ R (bilangan real atau nyata) dan a ≠ 0. Dengan demikian, bentuk ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 merupakan bentuk umum atau bentuk baku persamaan kuadrat dengan a sebagai koefisien x², b sebagai koefisien x, dan c adalah konstanta.

​

Bentuk umum atau bentuk persamaan kuadrat dalam x

adalah αx2 + bx + c = 0 dengan α ≠ 0 dan α, b, c ∈ R

(bilangan real atau nyata).

​

2.2 Akar atau Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Menentukan akar atau penyelesaian persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 artinya mencari nilai x yang memenuhi persamaan ax² + bx + c = 0 sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat (pernyataan) yang benar.

​

Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 , pengganti-pengganti variabel x yang dicari harus memenuhi syarat jika disubstitusikan pada persamaan tersebut menjadi kalimat benar. Pengganti-pengganti variabel x yang demikian disebut akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat.

​

2.2 Akar atau Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Tunjukkan akar persamaan berikut!

x₁ = 7 dan x₂ = –7 merupakan akar-akar persamaan x² – 49 = 0

​

Jawab:

Nilai x₁ = 7 disubstitusikan pada persamaan x² – 49 = 0, diperoleh:

72 – 49 = 49 – 49 = 0 (benar)

Nilai x₂ = –7 disubstitusikan pada persamaan x² – 49 = 0, diperoleh:

(–7)2 – 49 = 49 – 49 = 0 (benar)

Oleh karena pada substitusi x1 = 7 dan x₂ = –7 menghasilkan kalimat benar, maka x₁ = 7 dan x₂ = –7 adalah akar-akar dari persamaan x² – 49 = 0.

​

2.3 Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Kalimat Terbuka pq=0

Sebelum membahas cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, terlebih dahulu selidikilah hal-hal berikut!

a. Jika q ≠ 0, berapakah pengganti p agar pq = 0 menjadi kalimat yang benar?

Jawab: p = 0

b. Jika p ≠ 0, berapakah pengganti q agar pq = 0 menjadi kalimat yang benar?

Jawab: q = 0

c. Jika p = 0 dan q = 0, apakah pq = 0 dapat menjadi kalimat yang benar?

Jawab: ya

​

Berdasarkan ketiga hal di atas, maka dapat disimpulkan bahwa jika p dan q sembarang bilangan nyata dan pq = 0, maka p = 0, atau q = 0, atau p dan q kedua-duanya adalah 0. Kalimat p = 0, atau q = 0, atau p = 0 dan q = 0, dalam matematika dapat ditulis p = 0 atau q = 0. Kata atau di sini berarti boleh salah satu bernilai 0 atau kedua-duanya bernilai 0.

​

2.3 Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Kesimpulan dari penelaahan di atas akan kita gunakan sebagai tahapan penting dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan.

​

Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut.

​

Untuk sembarang bilangan real p dan q, selalu berlaku:

Jika p, q ∈ R dan pq = 0, maka p = 0 atau q = 0.

2.3 Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

2.3 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

2.3 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

2.4 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Bentuk Kuadrat Sempurna

Bentuk ax² + bx + c tidak selalu dapat difaktorkan. Oleh karena itu, perlu dipelajari cara lain untuk menyelesaikan persamaan ax² + bx + c = 0. Pada bahasan ini, akan kita pelajari cara lain dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan melengkapkan Kuadrat sempurna. Bentuk-bentuk seperti (x + 7)², (2y – 3)², dan (p + 13)² merupakan contoh-contoh dari bentuk kuadrat sempurna.

​

2.4 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Bentuk Kuadrat Sempurna

Jika suatu persamaan memiliki bentuk kuadrat sempurna seperti x² = q atau (x + p)² = q, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat berikut.

1. Hasil pengkuadratan dari dua bilangan nyata yang berlawanan tandanya adalah bilangan positif yang sama.
2. Jika persamaan berbentuk x² = p, maka penyelesaiannya dapat ditentukan dengan cara berikut.

​

2.4 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Akar dan Persamaan

Dengan menggunakan sifat-sifat di atas, persamaan yang memiliki bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan menggunakan kesimpulan berikut.

X² = q x = ± √q.

(x + p)² = q x + p = ±√q

±√q artinya adalah +√q atau -√q.

2.4 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Kerjakan Latihan 4 halaman 54

2.4 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna, persamaan ax² + bx + c = 0 harus dinyatakan dalam bentuk (x + p)² = q.

​

Mencari penyelesaian x dari persamaan ax² + bx + c = 0 dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.

1. Koefisien x² adalah 1, atau dibuat menjadi 1.

2. Persamaan dinyatakan dalam bentuk x² + mx = n.

3. Kedua ruas persamaan ditambah dengan kuadrat dari ( koefisien x).

4. Persamaan dinyatakan dalam bentuk (x + p)² = q.

​

Kuadrat Sempurna

2.4 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Kerjakan Latihan 5 halaman 56

⁄

2.5 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus

Rumus Penyelesaian Persamaan Kuadrat

2.5 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus

Diskriminan

Akar-akar persamaan kuadrat bergantung pada nilai (b² – 4ac). Dengan demikian, nilai dari (b² – 4ac) menjadi pembeda, apakah suatu persamaan kuadrat memiliki dua akar yang berbeda atau dua akar kembar. Oleh karena itu, (b² – 4ac) disebut diskriminan, biasanya dinyatakan dengan D sehingga D = (b² – 4ac).

​

Diskriminan dari persamaan ax² + bx + c = 0 adalah D = (b² -4ac).

• Jika D > 0, maka persamaan memiliki dua akar yang berbeda.
• Jika D = 0, maka persamaan memiliki dua akar yang sama.
• Jika D < 0, maka persamaan tidak memiliki akar (penyelesaian)

2.5 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus

Kerjakan Latihan 6 halaman 61

2.6 Menyusun Persamaan Kuadrat

Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Jika akar-akar dari persamaan ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2, maka berlaku sifat-sifat berikut:

• X₁ + x₂ = -b/a
• X₁ x x₂ = c/a

2.6 Menyusun Persamaan Kuadrat

Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah x₁ dan x₂, maka untuk menyusun persamaan kuadrat tersebut digunakan rumus berikut.

(x – x₁) (x – x₂) = 0

2.6 Menyusun Persamaan Kuadrat

Kerjakan Latihan 7 halaman 67

2.7 Model Matematika dan Penerapan Persamaan Kuadrat

Model Matematika

Untuk menyelesaikan soal cerita dengan situasi seperti di atas, terlebih dahulu perlu dibuat kalimat matematika berdasarkan informasi yang terdapat pada soal tersebut, yang disebut dengan model matematika. Model matematika dari situasi tersebut dapat diperoleh dengan cara memulai dengan pemisalan untuk besaran yang belum diketahui dengan sebuah variabel, misalnya x.

2.7 Model Matematika dan Penerapan Persamaan Kuadrat

Penerapan Persamaan Kuadrat pada Soal Cerita

Mengacu pada uraian dan contoh pada model matematika, maka soal-soal yang menyangkut persamaan kuadrat umumnya dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut.

1. Salah satu besaran yang belum diketahui dimisalkan dengan x (atau variabel lainnya), kemudian besaran yang lain dinyatakan dalam bentuk kalimat matematika yang dikaitkan dengan pemisalan yang memuat variabel x (atau variabel lainnya).
2. Membuat model matematika berupa persamaan kuadrat dalam x (atau variabel lainnya), kemudian menyelesaikan persamaan tersebut dengan menggunakan konsep-konsep dan sifat-sifat persamaan yang telah dipelajari.
3. Menentukan penyelesaian yang memenuhi (mungkin hanya satu penyelesaian, mungkin juga kedua-duanya).
4. Menjawab soal sesuai dengan yang ditanyakan.

​

2.7 Model Matematika dan Penerapan Persamaan Kuadrat

Kerjakan Latihan 8 halaman 71

Dua buah bilangan cacah berselisih 3 dan hasil kalinya 88.

Tentukan kedua bilangantersebut.

​

Jawab:

Misal bilangan pertama = x,

maka bilangan kedua = (x + 3) atau (x – 3).

• Persamaannya: x(x + 3) = 88

⇔ x² + 3x – 88 = 0

⇔ (x – 8)(x + 11) = 0

⇔ x – 8 = 0 atau x + 11 = 0

⇔ x = 8 x = –11

• Untuk x = 8, maka bilangan pertama = 8, bilangan kedua = 8 + 3 = 11.

Untuk x = –11 tidak memenuhi, sebab –11 bukan bilangan cacah.

Jadi, kedua bilangan cacah tersebut adalah 8 dan 11.

​