Формули скороченого множення

Множення різниці двох виразів� на їх суму

( a – b )( a + b ) = a² – b²

Добуток різниці двох виразів та їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів.

Приклади: a) (k – n)(k + n) = k² – n²;

b) (2х – 3у)(2х + 3у)=4x² – 9y².

Усні завдання

Вписати пропущені вирази, щоб отримати правильну рівність:

​

(4a + 1)(4a – 1) = 16a² – ◊;

(2a – c)(2a + c) = ◊ – c²;

(◊ + x)(◊ – x) = 4d² – ◊;

(a – c²)(a + c²) = ◊ – c⁴;

2(4x – 1)(4x + 1) = 2(16x² – ◊) = 32x² – ◊;

(a – 2b)(a + 2b) + 4b² = ◊ – 4b² + ◊ = a².

Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів

​

a² – b² = ( a – b )( a + b )

Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми.

​

​

​

Приклади: 1) 25x² – 9y² = (5х – 3у)(5х + 3у);

2) (х – 2)² - 36=(х – 2 – 6)(х – 2 + 6)=

= (х – 8)(х +4).

Урок 2

Усні завдання

Вписати пропущені вирази, щоб отримати правильну рівність:

x² – m² = (x – m)(x + □);

a² – 9 = (a – 3)(□ + 3);

b² – g⁴ = (□ – g²)(b + □);

1 -16z² = (1 – □)(1 + 4z);

0,04 – x¹⁰ = (0,2 – x⁵)(□ + x ⁵);

– c⁴ + 9a² = 9a² – □ = (3a – □)(3a + c²).

Квадрат суми двох виразів

( a + b )² = a² + 2ab + b²

​

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу.

​

​

​

Приклади: a) (3 + a)² = 9 + 6a + a²;

b) (5x + 3y)² = 25x² + 30xy + 9y².

Урок 3 – 4

Квадрат різниці двох виразів

( a – b )² = a² – 2ab + b²

​

Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу.

​

Приклади: a) (3 – a)² = 9 – 6a + a²;

b) (5x – 3y)² = 25x² – 30xy + 9y².

​

Завдання для самоконтролю

Вибрати, в якому із стовбців (А, Б, В) записано правильну

відповідь до завдань 1 – 4.

​

Завдання “ Знайди пару ”

Потрібно у правій колонці знайти відповідь до

приклада у лівій колонці.

​

Приклади Відповіді

А) (0,2a - p³)²; 1. a⁴ – 16a²p⁵ + 64p¹⁰;

Б) (a² - 8p⁵)²; 2. 0,25 + 2a² + 2a⁴;

В) (-a – p²)²; 3. 0,04a² - 0,2ap² + 0,25p⁴;

Г) (-0,5 – 2a²)²; 4. a² + 2ap² + p⁴;

Д) (-0,2a + 0,5p²)²; 5. 0,04a² - 0,4ap³ + p⁶ .

Математичний диктант

Запишіть у вигляді многочлена:

​

1. квадрат суми двох виразів 2n і 3m;
2. квадрат різниці двох виразів t і 2s;
3. добуток суми двох виразів 2m і 3n на їхню різницю;
4. різницю квадратів виразів 3m і 4n;
5. різницю квадратів виразів х + у і х – у;
6. суму квадратів виразів х + у і х – у.

Відповіді:

1. 4n² + 12 nm + 9m²;
2. t² – 4ts + 4s²;
3. 4m² – 9n²;
4. 9m² – 16n²;
5. (x+y)²–(x–y)²=(x+y–x+y)(x+y+x–y) = =4xy;
6. (x+y)²+(x–y)²=x²+2xy+y²+x²–2xy+y² =

=2x²+2y².

Куб суми двох виразів

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потроєний добуток квадрата першого виразу і другого плюс потроєний добуток першого виразу і квадрата другого плюс куб другого виразу.

​

Приклади: 1) (2 + a)³ = 8 + 12a + 6a² + a³;

2) (x² + 3y)³ = x⁶ +9x⁴y +27x²y² +27y³.

​

Урок 5

​

Куб різниці двох виразів

( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Куб різниці двох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус потроєний добуток квадрата першого виразу і другого плюс потроєний добуток першого виразу і квадрата другого мінус куб другого виразу.

​

Приклади: 1) (2 - a)³ = 8 - 12a + 6a² - a³;

2) (x² - 3y)³ = x⁶ - 9x⁴y + 27x²y² - 27y³.

​

Розкладання многочленів на множники з використанням формул� квадрата суми і квадрата різниці

a² + 2ab + b² = ( a + b )² ;

a² – 2ab + b² = ( a – b )² .

​

Приклади: 1) 9a² – 24ab + 16b² = (3a – 4b)²;

2) 0,25m² + 2mn + 4n² = (0,5m + 2n)².

​

​

Сума кубів двох виразів

a³ + b³ = ( a + b )(a² - ab + b²)

​

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці.

​

Приклади: 1) a³ + 64 =(a + 4)(a² - 4a + 16);

2) 27m³ + 125n³ =(3m + 5n)(9m²-15mn+25n²).

​

Урок 8 – 9

​

Різниця кубів двох виразів

a³ - b³ = ( a - b )(a² + ab + b²)

​

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми.

​

Приклади: 1) a³ – 64 =(a – 4)(a² + 4a + 16);

2) 27m³–125n³=(3m–5n)(9m²+15mn+

+25n²).

Самостійна робота

Розкладання многочленів на множники способом винесення �спільного множника за дужки

ab + ac = a(b + c)

Алгоритм

1. Розкласти кожен член многочлена на множники так, щоб серед них був спільний множник.
2. Застосувати розподільний закон множення відносно алгебраїчної суми: виділений спільний множник помножити на суму множників, які залишилися, записавши її в дужках.

Приклади: 1) 4a + 12 = 4(a +3);

2) 12x³y – 18x²y² = 6x²y(2x – 3y);

3) 5b(a – c) + 7(a – c) = (a – c)(5b + 7).

Розкладання многочленів на множники способом групування

ax + ay + bx + by = a(х+y) + b(x+y) =

= (x + y)(a + b)

Алгоритм

1. Об'єднати члени многочлена в такі групи, які мають спільний множник у вигляді многочлена.
2. Винести цей спільний множник за дужки.

​

Приклади: 1) 6m – 6n + am – an = 6(m – n) +

+ a(m – n) = (m – n)(6 + a);

2) 3a²c + 6a² – 10bc – 5bc² = 3a²(c +2) –

–5bc(2 + c) = (c +2)(3a² – 5bc).

Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники

Алгоритм

1. Винести спільний множник (якщо він є) за дужки.

​

2. Спробувати розкласти многочлен на множники за допомогою формул скороченого множення.

​

3. Застосувати спосіб групування (якщо попередні способи не привели до мети).

Урок 11 - 12

Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники

Приклади:

​

1. 7a²b² – 7b⁴ = 7b²(a² – b²) =

= 7b²(a – b)(a + b);

​

​

​

​

2. 6ac – 9c – 24abc + 36bc =

= 3c(2a – 3 – 8ab +12b) =

= 3c((2a–3) – 4b(2a–3)) =

= 3c(2a–3)(1–4b);

​

​

Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники

3. x² – 6x – 16 = x² – 6x + 9 – 9 –16 =

= (x – 3)² – 25 = (x–3–5)(x–3+5) =

= (x – 8)(x + 2);

​

4. x² – 2xy + y² – z² = (x–y)² – z² =

= (x – y – z)(x – y + z).

​

​