Основні поняття позиційної і непозиційної системи числення.�Позиційні і непозиційні системи числення в історії людства.�

Підготувала: вчитель інформатики Бойко Оксана Іллівна

​

• Сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел називається системою числення.
• Звичайною для нас і загальноприйнятою є позиційна десяткова система числення.

Непозиційна cистема числення

• Система числення, в якій значення кожної цифри в довільному місці послідовності цифр, яка означає запис числа, не змінюється, називається непозиційною.

​

​

• Наприклад, непозиційною системою числення є римська нумерація, в якій використовуються такі знаки або цифри для позначення чисел: І -1, У – 5, Х – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000 тощо.

Позиційна cистема числення

• Система числення, в якій значення кожної цифри залежить від місця в послідовності цифр у записі числа, називається позиційною.
• Щоб визначити число, недостатньо знати тип і алфавіт. Добре відомим прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій роль цифр відіграють букви алфавіту: І – один; V – п’ять; Х – десять; С – сто; L – п’ятдесят; D – п’ятсот; М – тисяча.

Десяткова позиційна система числення

• Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Основою цієї системи є число десять. Основою системи числення називається число, яке означає, у скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього.
• Число у цій системі числення можна представити у вигляді степенів десяти, наприклад:
• 237₁₀ = 2·10²+3·10¹ + 7·10⁰

​

Позиційна cистема числення

• Перша позиційна система числення виникла понад 2000 років до н.е. в стародавньому Вавилоні. Це була шістдесяткова позиційна нумерація. Проте принцип позиційного значення цифр тут ще не використовувався скрізь.

• Винахід позиційної системи числення приписують

шумерам, а подальший розвиток – індусам.

Ідея позиційної системи числення була описана

ще Архімедом у роботі«Обчислення піску».

​

Позиційна cистема числення

• Позиційна СЧ складається з обмеженої кількості цифр, проте позиція кожної цифри у числі забезпечує значимість (вагу) цієї цифри. Позиція цифри на мові математики називається розрядом.
• Тобто значення цифри «мінливе» і залежить від її позиції в числі.
• Наприклад, у 10-й СЧ, в числі 33 дві трійки мають різне значення: права трійка означає цифру 3 (кількість одиниць), а ліва – число 30 (кількість десятків).

Позиційна cистема числення

• Для позиційних систем числення характерні наочність зображення чисел і відносна простота виконання арифметичних операцій. Саме позиційні системи числення стали основою сучасної математики

​

• Будь-яке натуральне число можна зобразити у довільній позиційній системі числення і до того ж єдиним чином.

Алфавіт позиційних систем числення

Приклад

• Числа трійкової СЧ будуть наступними: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21,22…
• Для зазначення основи системи, до якої належить число, вводять індексне позначення: 75₁₀ , 1011₂ , 2А7₁₆ , 54₈.

Приклад

• Приклади запису чисел:
• двійкова СЧ, q=2; a_i Є {0,1}, A₂ =101₂ =1*2 ² +0*2 ¹*2 ⁰
• вісімкова СЧ, q=8; a_iЄ{0,1...7}, A₈ =175₈ =1*10₈² + 7*10 ₈¹+5*10₈⁰+1*8 =7*8 ₁₀¹ +5*8₁₀⁰ , тобто 10₈=8₁₀
• десяткова СЧ, q=10; a_iЄ{0,1...9}, A₁₀=531,26₁₀ =5*10² +3*10 ¹+ 1*10⁰ +2*10^-1 +6*10 ^-2 =500=30+1+0,20+0,06