Pendugaan

Dwi Raharjo

Uray Ulfah Nabilah

Pendugaan

• Pendugaan merupakan metode untuk memperkirakan parameter suatu populasi berdasarkan data sampel.
• Tujuan pendugaan adalah untuk memberikan informasi yang mendekati nilai sebenarnya dari parameter populasi, seperti rata-rata atau proporsi

Jenis Pendugaan

• Pendugaan Titik : suatu metode estimasi di mana satu nilai tunggal dari statistik sampel digunakan sebagai perkiraan terbaik untuk parameter populasi

​

• Pendugaan Interval: metode yang memberikan rentang nilai atau interval yang diharapkan mengandung parameter populasi dengan tingkat kepercayaan tertentu (misalnya, 95% atau 99%)

01 – Pendugaan Titik

02 – Pendugaan Interval

Contoh: Berdasarkan sampel 50 siswa dengan rata-rata tinggi 165 cm dan standar deviasi 10 cm, kita dapat menghitung selang kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi populasi siswa, misalnya (162 cm, 168 cm). Artinya, kita yakin 95% bahwa rata-rata tinggi siswa berada dalam interval tersebut.

• Selang kepercayaan adalah rentang nilai yang diyakini mengandung rata-rata populasi dengan suatu tingkat kepercayaan tertentu, misalnya 90%, 95%, atau 99%.

1. Selang Kepercayaan Rata-Rata Populasi

• digunakan ketika kita ingin mengestimasi rata-rata populasi dari sampel yang diambil.

Selang Kepercayaan Rata-Rata Populasi

• Selang kepercayaan adalah rentang nilai yang diyakini mengandung rata-rata populasi dengan suatu tingkat kepercayaan tertentu, misalnya 90%, 95%, atau 99%.
• digunakan ketika kita ingin mengestimasi rata-rata populasi dari sampel yang diambil.

​

Tingkat Kepercayaan

• Tingkat kepercayaan (1−α) menunjukkan tingkat keyakinan kita bahwa selang tersebut mengandung rata-rata populasi.
• Nilai umum untuk tingkat kepercayaan:
• 90% (α = 0,10)
• 95% (α = 0,05)
• 99% (α = 0,01)

​

Jika varians populasi diketahui.

Untuk populasi dengan varians (σ²) diketahui dan distribusi normal, selang kepercayaan bagi rata-rata populasi (μ) adalah:

Rumus Selang Kepercayaan bagi Rata-Rata Populasi

Jika varians populasi tidak diketahui

digunakan standar deviasi sampel (s) dan distribusi t-Student:

Contoh Soal 1

Suatu perusahaan ingin mengetahui rata-rata waktu yang dihabiskan karyawan untuk menyelesaikan tugas tertentu. Berdasarkan data dari sampel acak sebanyak 40 karyawan, diperoleh rata-rata waktu penyelesaian tugas sebesar 120 menit. Diketahui bahwa standar deviasi populasi waktu penyelesaian tugas adalah 15 menit.

Tentukan selang kepercayaan 95% untuk rata-rata waktu penyelesaian tugas karyawan di perusahaan tersebut.

Jawab

Jawab: Dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata waktu penyelesaian tugas karyawan diperkirakan berada dalam rentang 115,35 menit hingga 124,65 menit.

Contoh Soal 2

Jawab

Interpretasi Selang Kepercayaan

Jika kita mendapatkan selang kepercayaan 95% antara 47,936 dan 52,064, artinya kita 95% yakin bahwa rata-rata populasi berada dalam rentang tersebut.

• Selang kepercayaan yang lebih besar (misalnya 99%) akan menghasilkan rentang yang lebih lebar, yang mencerminkan keyakinan yang lebih tinggi, tetapi juga ketidakpastian yang lebih besar

2. Selang Kepercayaan bagi Varians Populasi

Varians populasi (σ²) adalah ukuran yang menunjukkan seberapa besar penyebaran atau variasi data dalam populasi.

Varians dihitung dengan mengukur jarak antara setiap data terhadap rata-rata populasi, lalu merata-ratakannya.

Varians populasi dapat dinyatakan dalam rumus:

Selang Kepercayaan

Selang kepercayaan merupakan rentang nilai yang diperkirakan dapat mencakup parameter populasi tertentu dengan tingkat keyakinan tertentu. Misalnya, selang kepercayaan 95% untuk varians populasi berarti kita yakin 95% bahwa varians populasi sesungguhnya berada di dalam rentang tersebut.

Pendugaan Selang Kepercayaan bagi Varians Populasi

Jika populasi berdistribusi normal, selang kepercayaan untuk varians populasi dapat dihitung menggunakan statistik Chi-kuadrat (χ2)

Rumus Umum

Selang kepercayaan untuk varians populasi σ² adalah:

Langkah-langkah Menghitung Selang Kepercayaan Varians Populasi

1. Tentukan varians sampel (S²) dengan menggunakan data yang ada.
2. Tentukan derajat bebas: df = n−1.
3. Tentukan tingkat signifikansi (α) dan nilai kritis Chi-kuadrat untuk batas bawah dan batas atas.
4. Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus untuk mendapatkan interval kepercayaan.

Contoh Soal

Soal Latihan

Dari sebuah sampel acak sebanyak 15 data, diperoleh varians sampel sebesar S² = 25. Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk varians populasi σ².

Jawaban

1. Diketahui:
1. Ukuran sampel, n = 15
2. Varians sampel, S² = 25
3. Tingkat kepercayaan = 95% (sehingga α=0,05)
4. Derajat bebas (df) = n−1 = 15−1 = 14

​

3. Selang Kepercayaan bagi koefisien korelasi populasi

Korelasi adalah ukuran yang menggambarkan kekuatan dan arah hubungan linear antara dua variabel. Koefisien korelasi sering dilambangkan dengan r (untuk sampel) atau ρ (untuk populasi). Nilai ρ berkisar dari -1 hingga 1:

• ρ = 1: Hubungan linear positif sempurna.
• ρ = -1: Hubungan linear negatif sempurna.
• ρ = 0: Tidak ada hubungan linear.

.

Mengapa Perlu Selang Kepercayaan?

Selang kepercayaan bagi ρ memberikan rentang nilai di mana kita memperkirakan nilai sebenarnya dari ρ populasi berada, dengan tingkat kepercayaan tertentu. Dalam penelitian, ini membantu memastikan bahwa hasil korelasi yang diperoleh dari sampel dapat digunakan untuk menyimpulkan hubungan di populasi secara lebih umum.

03 - SOCIAL MEDIA

01 - BRANDING

02 - WEBSITE

1

2

3

Prosedur Menghitung Selang Kepercayaan bagi ρ

Hitung Koefisien Korelasi Sampel

Temukan nilai koefisien korelasi sampel (r)

Transformasi Fisher

Transformasi Fisher digunakan untuk mengatasi distribusi yang tidak normal dari koefisien korelasi r, sehingga perhitungan selang kepercayaan menjadi lebih akurat. Transformasi Fisher untuk nilai r diberikan oleh:

​

Hitung Selang Kepercayaan untuk z’

Tentukan nilai standar error (SE) untuk z’ sebagai Berikut:

​

Kemudian, hitung batas bawah dan batas atas dari selang kepercayaan untuk z’ dengan tingkat kepercayaan (misalnya 95%):

4

Prosedur Menghitung Selang Kepercayaan bagi ρ

Kembali ke Koefisien Korelasi (ρ)

Transformasi balik hasil batas bawah dan atas untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi ρ:

Hasil ini memberikan batas bawah dan batas atas dari selang kepercayaan untuk koefisien korelasi populasi ρ.

Contoh Soal

Misalkan kita memiliki nilai koefisien korelasi sampel r = 0.5 dengan ukuran sampel n = 30 pada tingkat kepercayaan 95%.

Jadi, selang kepercayaan 95% bagi ρ adalah (0.171, 0.728).

Interpretasi

Selang kepercayaan ini menunjukkan bahwa dengan tingkat kepercayaan 95%, kita memperkirakan bahwa koefisien korelasi populasi (ρ) berada antara 0.171 dan 0.728.

THANK YOU

www.reallygreatsite.com