Теория вероятностей

и математическая статистика

Татьяна Васильевна Ляшенко

профессор, доктор технических наук

Кафедра информационных технологий и прикладной математики

ТВ & МС

ВВЕДЕНИЕ

Дифирамб ! →

Probability Theory & Mathematical Statistics

(PT&MS)

It is a science that participates

in all the sciences and in any activity

σ² s r

Теория вероятностей и математическая статистика – особая область знаний. Имеет и прикладное, и фундаментальное значение

Мировоззренческий характер: мир – не жесткая, фиксированная схема, когда при «одних и тех же» (казалось бы) условиях всегда одинаковы явления (поэтому заранее известны)

Такой взгляд оказывается более адекватным реальному миру

(как сфера ближе к яблоку, чем круг)

Дифирамб !

Важно и полезно в мире «big data» и все более сложных технических, социальных и информационных систем

(последствия отказов могут быть катастрофическими)

ТВ & МС

представляют

количественные основания

для принятия решений

в условиях неопределенности

​

Позволяют оценить технологический, политический и

деловой риск,

обеспечить надежность

и качество

Japanese way →

Japanese miracle

Означает – думать и решать,

принимая неопределенность и изменчивость

в качестве имманентных атрибутов

всех процессов, разной природы

Metadisciplinary

А зачем это нужно нам ?

ТВ & МС – основа Статистики, которая нужна инженеру и менеджеру, «как умение писать»

У нас – зачетная КР [+ экзамен + контрольная]

Бум! (см. ASA, Amstat News)

Конкуренция, скорость внедрения

новых технологий и продуктов требуют,

а компьютерная статистика позволяет

массово использовать «статметоды»

С матстатистикой связаны выдающиеся достижения (Нобелевские лауреаты в экономике)

+ Теория информации

Розширений план лекцій

з навчальної дисципліни

Теорія ймовірностей і математична статистика

Т.В. Ляшенко. – Одесса, 2022

​

https://drive.google.com/file/d/1DYQW1BsqLxT4ZUIXdJnDvg8cxcqMmE5S/view

Методичні вказівки для виконання курсової роботи за дисципліною «Теорія ймовірностей і математична статистика». Укладач Т.В. Ляшенко. – Одесса, 2021.

укр − https://drive.google.com/file/d/1LNTDZGR84TYdcUC3Uu2IoW2kW6FGHrdv/view

рус − https://drive.google.com/file/d/1ExIsdHFjM5hIFdAFWTZvXu3Wca7E4713/view

​

http://frabul16.wix.com/dvoe/for-students

презентации и план лекций, методичка для курсовой

Внизу страницы e-mail

frabul16@gmail.com

сlassroom

https://classroom.google.com/c/NDMxMDI3ODE0OTE1?cjc=nymjqz

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика

М.: Юнити, 2000, 2007, 2010, 2015, 2020

Основная (есть в библиотеке академии или в сети)

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. −

М.: Высшая школа (несколько изданий)

Lyashenko T.V. Elements of Probability Theory and Mathematical Statistics. − К., 1994

Статистика. Методическое пособие для студентов экономических специальностей. Составитель Ляшенко Т.В. – Одесса, 2001

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее

инженерные приложения. − М.: Наука, 1988…Justitia, 2018, 5-е изд.

https://ozon-st.cdn.ngenix.net/multimedia/1021489886.pdf

​

Барковский В.В., Барковская Н.В., Лопатин О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. – Київ: Центр навчальної літератури, 2019

Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики

М.: Наука, 3-е изд., 1983. – 412 с.

Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей (много изданий)

Дополнительная

   Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1991

Растригин Л.А. По воле случая

М.: Молодая гвардия, 1986

Hanke J.E. and Reitsch A.G. Understanding Business Statistics. − IRWIN, Homewood, Boston, 1991

Структура дисципліни «Теорія ймовірностей і математична статистика

Основные понятия теории вероятностей

Определения и свойства вероятности

1

Ключевые слова

случайное явление

эксперимент

случайное событие

достоверное и невозможное события

вероятность события

Ключевые слова − продолжение

статистическое определение вероятности

массовые однородные испытания

абсолютная и относительная частота

закон больших чисел

теорема Бернулли

оценка

практически достоверное событие

практически невозможное событие

уровень значимости (риск)

a posteriori

a priori

модель эксперимента (мысленный эксперимент)

элементарное событие

множество элементарных событий

составное событие

аксиоматическое определение вероятности

классическое определение вероятности

равновозможные события

алгебра событий

Ключевые слова − продолжение

При обтачивании на токарном станке

Работа двух «одинаковых» технологических линий, фирм, операционных систем…

1.1 Эксперимент, событие, вероятность

Случайные явления – происходящие в той или иной степени по-разному при «повторении» условий

Примеры:

​

От 1 до 6

при бросании кости

Образцы одного бетона имеют разную прочность

Случайные различия в результатах

при воспроизведении условий!

В испытаниях на длительность безотказной работы (реле, чипов) результат меняется (от раза к разу).

Изменения обусловлены влиянием «малозначительных», трудноуловимых факторов (дефекты в материале, колебания температуры, условия хранения и транспортировки, отклонения напряжения от номинала ...)

Сколько случайности?

→ Нужна Математика!

Теория вероятностей

– математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях

​

ТВ & MC

Математическая статистика – основанные на теории вероятностей математические методы извлечения

информации, необходимой для решения практических задач,

из статистических данных

Изучают случайный эксперимент

Исходы

Условия

Предмет ТВ − эксперимент

со случайным исходом

Случайное событие (событие)

− всякий факт, который может иметь или не иметь место в эксперименте

(при реализации определенных условий)

Эксперимент – базовое понятие ТВ.

В теории вероятностей эксперимент (испытание, наблюдение, опыт … − источник данных ) определяется комплексом условий его проведения и всеми возможными исходами

Примеры «эксперимент → событие»

1) бросание монеты → выпадение герба

2) бросание кости → нечетная цифра

3) выстрел в цель → промах

4) несколько выстрелов → 2 попадания

6) подготовлен товар → объем продаж < 1000 ед.

События бывают:

Случайное – может наступить или не наступить

Событие, которое неизбежно наступает

в эксперименте – достоверное

Если событие в эксперименте

наверняка не может наступить,

его называют невозможным

Случайное – между невозможным и достоверным –может быть, а может и не быть.

Степень объективной возможности его наступления выражают числом. Эту числовую меру случайности называют вероятностью

Вероятность

Вероятность события – число, которое определяет степень объективной возможности его наступления в эксперименте

События обозначают : A, B, C, …

Вероятность события A обозначается

P(A) или P_A или Pr (A)

Характеризует возможность события «быть или не быть»

Придумана, но отражает объективную реальность

Мера возможности объекта находиться в том состоянии, при котором событие имеет место

Может быть, а может и не быть,

Не должно или должно случиться −

Шансы от нуля до единицы.

2 пути определения вероятности

​

♣ Эмпирический (статистический) −

на основе реального эксперимента

​

♠ Теоретический − используя

модель эксперимента

(рассматривая мысленный эксперимент)

​

a posteriori

a priori

1.2. Статистическое определение вероятности

Статистический способ

− через массовые

однородные испытания

достаточно много наблюдений при «одних и тех же» условиях

n m_A m_A / n

1 100 41 0.41

2 100 57 0.57

3 100 61 0.61

4 100 42 0.42

​

m_A − абсолютная частота

Отношение количества испытаний, в которых событие A имело место, к общему числу испытаний в серии

− относительная частота события (частота) W(A) = m_A / n [%]

4 серии по 100 бросаний монеты

A – выпадение герба

С ростом n частота стабилизируется – свойство устойчивости частот: значения W от серии к серии слегка колеблются вокруг некоторого числа – вероятности события (частотное истолкование вероятности)

​

Статистическая вероятность

При неограниченном увеличении количества испытаний частота приближается к константе, которая называется

статистической вероятностью:

W(A) → P(A) при n → ∞

Теорема Бернулли доказывает (примерно):

при неограниченном увеличении однородных независимых опытов можно утверждать

с практической достоверностью, что относительная частота события будет сколь угодно мало отличаться

от его вероятности в отдельном опыте

Выражение универсальной статистической закономерности – Закона Больших Чисел

C у т ь !

хотя отдельный результат случаен

(W изменяется от серии к серии),

средний массовый результат

не случаен

(P – объективная характеристика события и соответствующих

состояний объекта) !!!

→ Основание для использования статметодов

W (A) = 0.5025.

Свойства вероятности

Можно ли предсказать результат отдельного испытания? Иногда!

W − оценка вероятности (при достаточно больших n)

1) W(A) = 1, если A во всех m_A = n опытах →

достоверное событие

2) W(A) = 0, если A ни в одном → невозможное

0 ≤ W(A) ≤ 1 0 ≤ P(A) ≤ 1

3) W(A) = 0.6 → в 60% случаев

4) W(A) = 0.98 → практически достоверное

5) W(A) = 0.01 → практически невозможное

Вероятность − число между нулем и единицей

Вероятность достоверного события равна единице

Вероятность невозможного события равна нулю

Та малая вероятность, при которой

в данных конкретных условиях событие можно считать практически невозможным, называется

уровнем значимости или риском

A posteriori

The End

of Part One

The End

of Part One

1.3. Аксиоматическое^* и классическое определение вероятности

Трудоемко, часто не осуществимо

(взрывать даже одно здание, не говоря о массовых испытаниях)

Эмпирический метод оценивает вероятность из опыта a posteriori

Желательно определить вероятность без испытаний (до опыта)

a priori

→ по модели реального эксперимента

​

(в мысленном эксперименте, используя

соответствующие формулы)

Элементарное событие ω_i (i = 1…n)

– каждый возможный исход эксперимента

​

Множество элементарных событий

Ω = {ω₁, ω₂, …, ω_n}

представляет все возможные исходы в эксперименте

Для описания эксперимента и событий в нем

(для построения модели эксперимента) используются следующие понятия

​

Примеры: в эксперименте с бросанием кости

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n = 6;

в эксперименте с монетой Ω = {герб, цифра}, n = 2

Благоприятными событию A называют m_A элементарных событий, при любом из которых происходит A

Ω

Если наступление A связано только с одним ω,

то A – элементарное событие (m_A = 1)

Если событию соответствует несколько элементарных,

то это составное событие (m_A > 1)

Примеры: выпадение шестерки при бросании кости

А = {6}, m_A = 1;

выпадение четной цифры А = {2, 4, 6}, m_A = 3

Таким образом, любое событие

есть часть множества элементарных событий,

его подмножество, A ⊆ Ω

Если A – достоверное событие, то оно совпадает с Ω.

Достоверному событию соответствует

все множество элементарных событий (m_A = n)

P(Ω) = 1

​

В примере с костью – одна из всех граней обязательно выпадет

Пустое подмножество (m_A = 0) соответствует

невозможному событию, A = ∅

P(∅) = 0

Например, с выпадением семерки

не связано ни одно элементарное событие

Для аксиоматического определения вероятности:

1. описываются эксперимент и событие A – выделяется множество элементарных событий

Ω = {ω₁, ω₂, …, ω_n}, включая те m_A,

что соответствуют наступлению A;

б) определяются шансы каждого исхода – каждому ω_i ставится в соответствие положительное число – его вероятность

p(ω_i) = p_i (0 ≤ p_i ≤ 1), так что

p₁ + p₂ + …+ p_i + …+ p_n = 1

→ между исходами распределяется единичная вероятность того,

что один из них обязательно случится;

в) вероятность события A определяется

как сумма вероятностей

всех элементарных событий, благоприятных A

аксиоматическое определение вероятности

​

Однако! ???

0 ≤ P(A) ≤ 1

Из (б) и (в) следуют

свойства вероятности

Не указывается, как распределяется единичная вероятность достоверного события P(Ω) = 1

(того, что в эксперименте что-то обязательно наступит)

между отдельными исходами,

как назначить их вероятности p_i

Это можно сделать

через массовые испытания,

оценивая p_i по частоте

иногда!

a priori – на основе анализа модели эксперимента

Тогда по аксиоматическому определению

P(A) = m_A ⋅ 1/ n

Важнейший пример

Если шансы всех исходов в эксперименте одинаковы,

то p_i = p = 1/ n (i = 1…n)

​

что дает

классическое определение вероятности

​

P(A) = m_A / n

Вероятность события в эксперименте

с равновозможными исходами равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов

Примеры ?

Простейшие примеры:

​

вероятность выпадения герба при бросании монеты

P(«герб») = 1/2

вероятность четной цифры при бросании кости

P(«четная») = 3/6 = 0.5

​

См. практические занятия!

etc

Одна из польз случайности

По относительной частоте

​

W(A) = m_A / n [%]

​

​

В частности,

по классическому определению

(при равновозможных исходах)

Статистическое определение

Аксиоматическое определение

ИТАК!

Классическое определение позволяет

провести «непосредственный подсчет вероятностей» многих «простых» событий,

соответствующих так называемой «схеме случаев»

(когда элементарные исходы равновозможны и их число конечно)

Более того, иногда,

определив вероятности таких событий, можно рассчитать (см. тему 2) вероятности более сложных, которые рассматривает алгебра событий (см. приложение)

Примеры к алгебре событий:

1. В урне черные и белые деревянные и пластмассовые шары. Если событие А – вынуть наугад белый шар,

В – вынуть деревянный шар,

то «вынуть белый деревянный шар» – произведение А и В.

​

2. Имеется система двух последовательно соединенных элементов (последовательность технологических операций, участок электрической цепи, цепная конструкция и т. п.).

​

​

​

Если А₁ – нормальная работа 1-го элемента, а А₂ – нормальная работа 2-го, то нормальное функционирование всей системы есть произведение А₁ и А₂. Система работает, только когда работают оба элемента, и первый, и второй.

4. В урне белые, синие, красные и зеленые шары.

Если А₁ – случайно вытянуть белый шар, А₂ – синий,

А₃ – красный, А₄ – зеленый, то вытянуть шар одного из цветов французского флага – сумма событий А₁ + А₂ + А₃.

Они несовместны, и вместе с А₄ образуют полную группу.

5. Система состоит из двух параллельно работающих элементов. События А₁ и А₂ – нормальное функционирование

соответствующих элементов.

​

Тогда сумма событий А₁ + А₂ есть нормальная работа системы в целом. Она работает, если работает хотя бы один из элементов

(1-ый или 2-ой или оба); здесь А₁ и А₂ – совместные.

7. Отказ А системы k параллельно работающих элементов есть произведение их отказов А_j − система не работает, если выходят из строя все k ее элементов: А = А₁ ⋅ А₂ ⋅… ⋅А_k.

Здесь работа (А) и отказ (А) – противоположные события.

8. Дополнительным к выпадению двойки в эксперименте с костью является выпадение любой другой цифры из шести:

А = {2}, А = {1, 3, 4, 5, 6}.

9. Отказ системы последовательно соединенных элементов есть сумма отказов элементов – система не работает, если отказывает хотя бы один ее элемент: А = А₁ + А₂ +… +А_k.

before the end

Контрольные вопросы

1. Что такое Теория вероятностей и Математическая статистика?

2. Что такое вероятность события. Какие значения она может иметь?

3. Как определяют вероятность события эмпирически (a posteriori)?

Относительная частота – что это?

4. Как определить вероятность события при равновозможных

результатах эксперимента?

5. Что есть сумма событий, произведение событий,

противоположное событие?

The End

The End