CHAPITRE 4�www.youssefbmw.fr.gd
SYSTEMES DE CONDUCTEURS EN EQUILIBRE
1
OBJECTIFS:
→ Etablir les propriétés électrostatiques des conducteurs: champ, potentiel, énergie.
→ Etudier les propriétés d'un système de 2 conducteurs en influence.
→ Appliquer ces résultats aux condensateurs: propriétés, capacité, forces sur les armatures.
2
🡺 Un conducteur est un matériau qui contient des charges mobiles. Ces charges se mettent en mouvement dès qu'elles sont dans un champ électrostatique.
I- CONDUCTEUR EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE
1- Définitions
★ exemples: ▪ métal: →porteurs de charge = e− libres
▪ gaz ionisé: →porteurs de charge = ions
▪ électrolytes: →porteurs de charge = ions
🡺 Un conducteur est en équilibre lorsque les charges libres qu'il contient sont toutes au repos.
★ charge libre: barycentre d'un ensemble de porteurs de charge.
3
2- Propriétés d'un conducteur en équilibre
🡺 Le champ électrostatique est nul à l'intérieur de tout conducteur en équilibre:
→ charges libres au repos ⇒
🡺 Le potentiel est constant à l'intérieur et sur la surface d'un conducteur en équilibre.
→
par continuité, V = Cte à la surface
★ la surface d'un conducteur en équilibre est une équipotentielle.
★ les lignes de champ sont normales à la surface pour un conducteur chargé
4
🡺 Si le conducteur en équilibre est chargé, cette charge ne peut être que surfacique.
→
🡺 Cas d'un conducteur creux chargé:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
→ la surface intérieure est une équipotentielle
→ il ne peut pas y avoir de charges sur la surface intérieure de la cavité
🡺 Applications:
★ charge d'un conducteur, initialement neutre, par contact.
★ cage de Faraday.
5
3- Champ au voisinage d'un conducteur
a- Théorème de Coulomb
+
+
+
+
+
+
+
+
M
🡺 Le champ électrostatique présente une discontinuité à la traversée de la surface d'un conducteur en équilibre.
∙ M infiniment voisin de la surface du conducteur.
∙ normale à la surface en M.
d'où
champ au voisinage d'un conducteur en équilibre
∙ S surface fermée = ∑ + tube + ΔS
∑
ΔS
6
V = Cte
b- "Pouvoir des pointes"
→ Sphère de rayon R au potentiel V:
→ Sphère S' de rayon R':
S'
→ Sphère S" de rayon R":
S"
🡺 A la surface d'un conducteur en équilibre au potentiel V, le champ électrostatique sera très intense au voisinage d'une pointe.
⇒ ionisation de l'air ⇒ décharge (paratonnerre, avion,…)
★ Au voisinage de la surface,
⇒ impossiblité de conserver la charge pour un conducteur chargé muni de pointes.
7
c- Pression électrostatique
→ champ créé par dS
→ champ créé par le reste de la surface
🡺 Par définition, est la pression électrostatique
★ toujours dirigée suivant
⇒ l'élément de surface dS va subir une force:
Au voisinage de la surface:
dS
σ
M
★Si σ très grand, les charges quittent le conducteur ⇒ émission par effet de champ
8
4- Capacité d'un conducteur en équilibre
Sa charge totale est:
Si σ → kσ alors:
On pose:
capacité d'un conducteur isolé en équilibre
★ C toujours >0
★ Unité: Farad (coulomb.volt−1)
★ Exemple: Cterre = 4πε0R = 710 μF
En un point M d'un conducteur en équilibre, de surface S et de densité σ, le potentiel s'écrit:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
M
r
dS
9
5- Energie d'un système de conducteurs chargés en équilibre
★ La distribution est surfacique et V constante sur la surface.
→ Cas d'un seul conducteur:
→ Cas d'un système de n conducteurs:
Conducteur Ai: charge Qi et potentiel Vi ⇒
Pour n conducteurs A1, A2, …, Ai, …, An:
10
II- INFLUENCE ELECTROSTATIQUE
1- Expérience fondamentale. Définition de l'influence
→ conducteur A isolé, neutre, en équilibre.
→ conducteur B isolé, chargé, en équilibre.
A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
B
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
→ déplacement des charges libres de A sous l'influence de
→ à l'équilibre,
conducteur influençant
conducteur influençé
🡺 La répartition des charges superficielles du conducteur A est modifiée ⇒ A a été influencé par le champ de B
11
2- Etats possibles d’un conducteur
a- Conducteur isolé
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
B
VB
A
→ Initialement, A est neutre et isolé ⇒ QA = VA = σA = 0
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
V'A
→ Après influence par B chargé, V'A ≠ 0 alors que Q'A = 0
🡺 Pour un conducteur isolé, l'influence conserve la charge totale mais modifie la répartition des charges sur la surface et donc son potentiel.
→ à charge constante, σ et V peuvent varier.
12
b- Conducteur à potentiel constant
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
B
A
V = Cte
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
→ Les charges ⊕ de A "s'écoulent" vers la terre.
🡺 L'influence modifie la charge totale d'un conducteur maintenu à un potentiel constant.
→ à potentiel constant, σ et Q peuvent varier.
13
+
+
+
+
+
+
A
B
–
–
–
–
–
–
3- Théorème des éléments correspondants
🡺 Théorème: Les charges de deux éléments correspondants sont égales et opposées.
→ Th. de Gauss appliqué à la surface fermée [ ΣA + ΣB + tube ] :
A
Σ
→ dSA et dSB sont des éléments correspondants.
dSA
dSB
tube de champ
14
★ A isolé et initialement neutre: Qext = − Qint = + QB
A
4- Influence totale
→ Il y a influence totale lorsque le conducteur A (influencé) entoure complètement le conducteur B (influençant).
→ Face extérieure de A: différents cas:
★ A relié au sol: VA = 0 ⇒ Qext = 0
★ A isolé et initialement chargé +Q0: Qext = Q0 + QB
B
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+QB
–
→ Th. des éléments correspondants ⇒ −QB sur la surface intérieure de A
–
–
–
–
–
−QB
–
–
–
–
–
–
–
15
a- Conducteur creux isolé (QC = Cte)
⇒ C n'est pas un écran
★ B chargé , QA = 0
⇒ C est un écran électrique pour l'intérieur du conducteur (cage de Faraday)
Sext
Sint
C
B
A
★ A chargé QA , QB = 0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+QA
−QA
5- Ecrans électriques
16
b- Conducteur creux maintenu à potentiel constant
★ B chargé
V reste constant
🡺 C joue le rôle d'un écran électrique (blindage)
(en pratique, V = 0, le blindage est "à la masse")
B
Sext
Sint
C
A
V = Cte
★ A chargé QA , QB = 0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Sext invariante
−QA
🡾 Pour réaliser un écran électrique parfait il suffit de maintenir à potentiel constant un conducteur creux.
⇒ pas d’influence de A sur B
⇒ pas d’influence de B sur A
17
III- ETATS D'EQUILIBRE D'UN SYSTEME DE CONDUCTEURS: étude théorique.
2- Unicité de l'état d'équilibre
→ Conducteur isolé : pour un conducteur isolé dans le vide, l'état d'équilibre est défini de façon unique si l'on connaît son potentiel V0 :
▪ V(M) est défini de façon unique.
▪ la densité de charge σ est définie en tout point de la surface du conducteur.
▪ est défini de façon unique.
1- Etat d'équilibre d'un système
Un état d'équilibre d'un système de conducteurs est défini par la connaissance du potentiel ou/et de la charge de chaque conducteur.
18
3- Principe de superposition des états d'équilibre
Soit un système de conducteurs et 2 états d'équilibre:
→ Etat 1: σ = σ1i et V = V1i sur le conducteur i
→ Etat 2: σ = σ2i et V = V2i sur le conducteur i
🡺 Le principe de superposition des états d'équilibre affirme que l'état défini par :
σ = σ1i + σ2i et V = V1i + V2i sur le conducteur i
est aussi un état d'équilibre.
→ Système de n conducteurs isolés et chargés : la connaissance des potentiels V1, V2, …, Vn définit de manière unique le potentiel V(M) en tout point de l'espace.
▪ Q1, Q2, …,Qn sont définies de façon unique.
▪ σ1, σ2, …,σn sont définies.
19
3- Capacités et coefficients d'influence d'un système de conducteurs
Soit un système de 2 conducteurs en équilibre:
Q1
V1
A1
Q2
V2
A2
≡ superposition de 2 états d'équilibre:
Q11
V1 > 0
A1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Q21
V2 = 0
A2
–
–
–
–
Etat 1
Q12
V1 = 0
A1
–
–
–
–
Q22
A2
+
+
+
V2 > 0
+
+
+
+
+
Etat 2
Donc:
20
🡺 Définitions
▪ C11 = capacité du conducteur A1 en présence de A2.
▪ C22 = capacité du conducteur A2 en présence de A1.
▪ C12 = coefficient d'influence de A2 sur A1.
▪ C21 = coefficient d'influence de A1 sur A2.
▪ Q11 = C11V1 = charge propre du conducteur A1.
▪ Q12 = C12V2 = charge qui apparaît sur A1 influencé par A2
⇒ Q12 de signe opposé à V2
⇒ C12 et C21 sont toujours < 0
21
4- Généralisation
Pour un système de n conducteurs en influence, on a:
→ l'indice i correspond au conducteur influencé, et l'indice j au conducteur influençant.
🡺Les charges sont des fonctions linéaires et homogènes des potentiels.
c'est à dire:
avec:
22
IV- CONDENSATEURS
1- Définitions
🡺 Un condensateur est un ensemble de 2 conducteurs en influence totale.
Q2
Q1
A1
A2
→ A1 = armature interne de charge Q1
🡺 Q1 = Q est la charge du condensateur
🡺 Relations générales:
→ A2 = armature externe de charge
23
→ On peut réaliser un état d'équilibre où on a:
d'où C11 = −C21 = −C12 = C Capacité du condensateur
🡺 La charge d'un condensateur est proportionnelle à la différence de potentiel qui existe entre ses armatures.
🡺 La capacité C dépend de la géométrie (forme) des armatures.
🡺 Schéma d'un condensateur:
V2
V1
A
B
⇒
or Q1 = −Q2
24
2- Calcul de capacités
a- Méthode générale
① → Calcul de entre les armatures (Th. de Gauss).
② → Calcul de la circulation de entre les armatures.
et
③ → Calcul de C.
25
b- Condensateur plan
→ Densités de charges uniformes: +σ sur A1 et −σ sur A2.
→ Armatures A1 et A2 : plans de surface S séparés d'une distance e (S >> e) et portés aux potentiels V1 et V2.
+
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
+
V1
V2
A1
A2
e
①
②
③
26
c- Condensateur sphérique
→ Armature A2: sphère de rayon R2.
A2
② Circulation de entre A1 et A2:
③
Σ
① Σ surface de Gauss de rayon r ⇒
→ Armature A1: sphère de rayon R1.
A1
Q1
27
3- Propriétés des condensateurs
a- Accumulation d'électricité
Un condensateur est un "réservoir" d'électricité.
→ Conducteur A1 sphérique isolé au potentiel V: Q = 4πε0RV
→ Si on entoure A1 par un autre conducteur sphérique de rayon R+e (avec R>>e) au potentiel 0, Q devient:
⇒
🡺 Pour une ddp donnée, on peut placer une charge beaucoup plus grande sur un condensateur que sur un conducteur isolé.
🡺Un condensateur sera caractérisé par:
→ sa capacité.
→ la ddp (V1−V2) maximum qu'il peut supporter.
28
b- Groupement de condensateurs
🡺 On groupe le condensateurs pour obtenir un condensateur équivalent:
→ capacité plus grande (groupement parallèle).
→ ddp plus grande (groupement série).
★ Groupement parallèle
V2
V1
A
B
C1
C2
C3
Q1
Q2
Q3
→ armatures internes: potentiel V1.
→ armatures externes: potentiel V2.
🡺 Pour n condensateurs groupés en parallèle, le condensateur équivalent a une capacité:
→ charge du groupement:
29
★ Groupement série
V2
V1
A
B
C1
C3
C2
+Q1
+Q1
+Q1
−Q1
−Q1
−Q1
V"
V'
→ l'armature interne d'un condensateur est reliée à l'armature externe du suivant, etc.….
→ tous les condensateurs portent la même charge Q1.
d'où
🡺 Pour n condensateurs groupés en série, le condensateur équivalent a une capacité:
30
4- Condensateur avec diélectrique
→ On place un isolant solide (mica, papier paraffiné, verre,….) ou liquide (huile minérale) ou de l'air entre les armatures.
🡺 La capacité du condensateur est multipliée par un facteur εr.
🡺 εr est la permittivité de l'isolant.
▪ air sec: εr = 1,00058 ≈ 1 (vide)
▪ mica: εr ≈ 8
▪ verres: εr ≈ 4 à 7
▪ paraffine: εr ≈ 2,1
🡺 Potentiel disruptif: si la ddp entre les armatures devient trop grande, le diélectrique devient conducteur et une étincelle se produit entre les armatures: le condensateur "claque".
31
5- Energie d'un condensateur
→ Condensateur = système de 2 conducteurs en influence.
→ En général, on a −Q2 = Q1 = Q charge du condensateur
avec Q = Q1 et V = V1 − V2
🡺 Localisation de l'énergie électrostatique:
−ΔEe = W(forces électrostatiques) ⇒
→ l'énergie électrostatique est localisée (ou stockée) dans les régions où le champ n'est pas nul.
32
🡺 Dans un condensateur, l'énergie est localisée entre les armatures.
→ Exemple: condensateur plan
avec v = S.e = volume du condensateur où est localisée Ee.
🡺 Densité d'énergie électrostatique d'un condensateur:
→ Plus généralement, on définit la densité d'énergie électrostatique par:
33
🡺 Forces agissant sur les armatures d'un condensateur:
→ A l'aide de la pression électrostatique:
−Q
+Q
0
e
x
(attractive)
d'où
→ A l'aide du bilan énergétique dans un condensateur:
Lorsqu’on écarte les armatures, le bilan énergétique s’écrit:
34
a) variation d'énergie à charge constante:
Déplacement dx de l'armature ⇒
Système isolé donc
alors:
travail de la source de potentiel si la charge varie de dQ
travail de l’opérateur lors du déplacement des armatures
35
b) à l'aide de la variation d'énergie à potentiel constant:
∙ Au cours du déplacement, la charge Q varie donc la source fournit une énergie
∙ la variation d'énergie électrostatique est alors:
or, pour un condensateur:
d'où
et