2 of 7

Η τριχοτόμηση μιας γωνίας

Η τριχοτόμηση μιας αυθαίρετης γωνίας χρησιμοποιώντας

κανόνα και διαβήτη είναι γνωστή ως ένα από τα «τρία

άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας». Καθώς οι

αρχαίοι Έλληνες ήταν σε θέση να διχοτομήσουν μια γωνία και

να διαιρέσουν ένα τμήμα σε οποιοδήποτε αριθμό ίσων

τμημάτων, φαινόταν ότι μια μέθοδος τριχοτόμησης μιας

γωνίας θα έπρεπε επίσης να είναι δυνατή. Δεν κατάφεραν να

εκτελέσουν αυτή την κατασκευή και υποψιάζονταν ότι δεν ήταν

δυνατή, αλλά μόλις το 1837 ο Pierre Wantzel (1814-1848)

χρησιμοποίησε την άλγεβρα για να αποδείξει ότι ήταν αδύνατη!

Ωστόσο αρκετοί μαθηματικοί από την αρχαία Ελλάδα

ανακάλυψαν μεθόδους για την τριχοτόμηση της γωνίας, όταν

χρησιμοποιούνται μηχανικά μέσα.

3 of 7

Η συμβολή του Αρχιμήδη

4 of 7

Τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας

Δίνεται γωνία xOy. Με κέντρο το Ο σχεδιάζουμε κύκλο με

τυχαία ακτίνα ρ, που τέμνει την πλευρά Οy στο σημείο Β. Από

το Β φέρνουμε μια τέμνουσα του κύκλου που τον τέμνει στο Ε

και την προέκταση της Οx στο Δ έτσι ώστε ΔΕ = ρ.

5 of 7

H απόδειξη

Από τα ισοσκελή τρίγωνα ΟΔΕ , ΟΕΒ και τις εξωτερικές

γωνίες ΟΕΒ και ΑΟΒ έχουμε ότι η το μέτρο της γωνίας ΟΔΕ

είναι το 1/3 της xOy.

6 of 7

Η σπείρα του Αρχιμήδη

Η σπείρα του Αρχιμήδη είναι μια καμπύλη που σε πολικές

συντεταγμένες έχει εξίσωση ρ= αθ , όπου α πραγματικός

αριθμός.

7 of 7

Τριχοτόμηση γωνίας �με τη σπείρα του Αρχιμήδη

Έστω μια γωνία xOy. Γράφοντας μια σπείρα ο Αρχιμήδης με κορυφή Ο , βρίσκουμε το σημείο Σ που τέμνει η σπείρα την πλευρά Οy. Β είναι σημείο της Oy τέτοιο ώστε ΟΒ = 1/3 ΟΣ. Σχεδιάζουμε κύκλο (Ο, ΟΒ) που τέμνει τη

σπείρα στο σημείο Α. Η γωνία xOA είναι το ένα τρίτο της αρχικής γωνίας.