Beras merupakan kebutuhan pokok penduduk Indonesia. Perhatikan orang yang membeli beras di warung atau di pasar. Dapatkah kalian menentukan uang yang harus dibayar pembeli beras tersebut? Dengan mengetahui harga beras per kilogram, kalian bisa menentukan total yang harus dibayar. Dapatkah kalian menentukan variabel pada kasus di atas?
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Isi Materi
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Apa yang Kalian Ketahui?
Apa yang Akan Kalian Pelajari?
Kalian tahu bagaimana mencari bilangan yang tidak diketahui dari operasi penjumlahan dan perkalian.
Contoh:
Kalian tahu bagaimana menggambarkan suatu pertidaksamaan dengan menggunakan garis bilangan.
Contoh:
b ≤ 4 untuk b bilangan real
Kalian dapat menerapkan bentuk-bentuk persamaan tersebut pada bentuk aljabar yang lebih kompleks.
Contoh:
7 + 3n = 28
3n = 28 – 7
3n = 21
n = 7
Kalian dapat menyelesaikan operasi yang melibatkan beberapa langkah pertidaksamaan.
3x – 4 ≥ 8
3x – 4 + 4 ≥ 8 + 4
3x ≥ 12
x ≥ 4
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Sebagaimana kalimat sehari-hari yang biasa kita gunakan, suatu kalimat pada matematika juga menceritakan sesuatu.
Contoh:
Kalimat dalam bahasa Indonesia:
a. Matahari bersinar sangat terang.
b. Solo terletak di Provinsi Jawa Tengah.
Kalimat dalam matematika.
a. 2 + 3 = 5.
b. 3 adalah bilangan prima.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang dapat bernilai benar atau salah tergantung dari nilai yang digunakan.
Atau
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
a. Pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai kebenaran (bernilai benar saja atau salah saja).
b. Kalimat yang benar adalah kalimat yang mengandung informasi benar.
c. Kalimat yang salah adalah kalimat yang mengandung informasi salah.
Untuk memahami variabel dan konstanta, simaklah tabel berikut.
Kalimat Terbuka | Variabel | Konstanta |
x + 9 = 15 | x | 9 dan 15 |
y – 3 = 12 | y | 3 dan 12 |
3p + 4 = 7 | p | 4 dan 7 |
25 – 2m = 5 | m | 5 dan 25 |
1. Peubah atau variabel adalah lambang yang menempati tempat konstanta.
2. Konstanta adalah nilai tetap pada kalimat terbuka yang tidak dapat diganti.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Perhatikan kalimat terbuka berikut!
”x adalah faktor dari 10”
Jika x = 1 maka 1 faktor dari 10 adalah pernyataan benar.
Jika x = 2 maka 2 faktor dari 10 adalah pernyataan benar.
Jika x = 3 maka 3 faktor dari 10 adalah pernyataan salah.
Jika x = 4 maka 4 faktor dari 10 adalah pernyataan salah.
Jika x = 5 maka 5 faktor dari 10 adalah pernyataan benar.
Jika x = 6 maka 6 faktor dari 10 adalah pernyataan salah.
Jika x = 10 maka 10 faktor dari 10 adalah pernyataan benar.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Persamaan linear satu variabel (PLSV) adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 1.
Untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan, dapat dilakukan dengan cara substitusi, yaitu mengganti variabel dengan nilai tertentu sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar.
Tentukan penyelesaian 3x – 4 = 5 jika x variabel pada bilangan asli!
Penyelesaian:
Untuk x = 1 maka 3(1) – 4 = 5 merupakan kalimat yang salah.
Untuk x = 2 maka 3(2) – 4 = 5 merupakan kalimat yang salah.
Untuk x = 3 maka 3(3) – 4 = 5 merupakan kalimat yang benar sehingga 3 adalah penyelesaian dari 3x – 4 = 5.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Dua persamaan atau lebih dikatakan setara jika persamaan-persamaan tersebut memiliki penyelesaian yang sama.
Dari persamaan-persamaan berikut, manakah yang merupakan persamaan setara?
a. 2x + 1 = 15
b. 3x – 12 = 18
c. 25 – 4x = –3
Penyelesaian:
a. Nilai x yang memenuhi persamaan 2x + 1 = 15 adalah 7 karena 2 × 7 + 1 = 15.
Jadi, penyelesaian dari 2x + 1 = 15 adalah 7.
b. Nilai x yang memenuhi persamaan 3x – 12 = 18 adalah 10 karena 3 × 10 – 12 = 18.
Jadi, penyelesaian dari 3x – 12 = 18 adalah 10.
c. Nilai x yang memenuhi persamaan 25 – 4x = –3 adalah 7 karena 25 – 4 × 7 = –3.
Jadi, penyelesaian dari 25 – 4x = –3 adalah 7.
Dari uraian tersebut, tampak bahwa persamaan a setara dengan persamaan c, yaitu 2x + 1 = 15 ⇔ 25 – 4x = –3
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
a. Aturan Penambahan dan Pengurangan
x – 8
7
=
x – 8 + 8
7 + 8
=
x
15
=
1) Posisi awal, timbangan dalam keadaan seimbang.
2) Kedua ruas ditambah 8 agar timbangan tetap seimbang.
3) Posisi akhir timbangan tetap seimbang.
Jadi, penyelesaian dari persamaan x – 8 = 7 adalah 15.
Suatu persamaan akan tetap setara jika kedua ruas persamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
b. Aturan Perkalian dan Pembagian
Tentukan penyelesaian dari 5x = 20!
Penyelesaian:
5x = 20
⇔ (dibagi 5)
⇔ x = 4
Jadi, penyelesaian dari 5x = 20 adalah 4.
5x
5
=
20
5
Suatu persamaan akan tetap setara jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama, kecuali nol.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Telah kita ketahui bahwa pada garis bilangan, setiap titiknya mewakili bilangan tertentu. Oleh karena itu, setiap penyelesaian persamaan linear satu variabel dapat digambar dalam garis bilangan.
Tentukan penyelesaian persamaan berikut, kemudian nyatakan penyelesaiannya pada garis bilangan!
2x + 5 = 9
Penyelesaian:
2x + 5 = 9
⇔ 2x = 9 – 5
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Penyelesaian dari 2x + 5 = 9 adalah 2. Penyelesaian ini dinyatakan dengan noktah (•) pada garis bilangan sebagai berikut.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Umur Dito 3 tahun lebih tua daripada umur Jaka. Jika jumlah umur mereka 27 tahun,
a. berapakah umur Jaka;
b. berapakah umur Dito?
Penyelesaian:
Misalnya umur Jaka = x maka umur Dito = x + 3.
Kalimat matematikanya adalah
x + (x + 3) = 27
⇔ 2x + 3 = 27
⇔ 2x = 27 – 3
⇔ 2x = 24
⇔ x = 12
Jadi, umur Jaka 12 tahun dan umur Dito adalah x + 3 = 12 + 3 = 15 tahun.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) adalah pertidaksamaan yang hanya memiliki satu variabel dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 1.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang setara dengan cara sebagai berikut.
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah lambang ketidaksamaan.
b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah lambang ketidaksamaan.
c. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi lambang ketidaksamaan dibalik.
Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, yaitu sebagai berikut.
a. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan cara mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda sama dengan.
b. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang setara.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut, kemudian nyatakan penyelesaiannya pada garis bilangan!
2x + 1 < 7 dengan x variabel pada bilangan cacah.
Penyelesaian:
2x + 1 < 7 ⇔ 2x < 6 ⇔ x < 3
Penyelesaiannya adalah x < 3.
Karena x variabel pada bilangan cacah maka himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1, 2}
Grafiknya sebagai berikut.
Jika x variabel pada bilangan rasional maka grafiknya seperti berikut.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Pak Hadi mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan lebarnya kurang 15 m dari panjangnya. Pada batas tanah tersebut akan dibuat pagar dari kayu. Jika keliling pagar tidak lebih dari 350 m,
a. buatlah kalimat matematika dari masalah tersebut;
b. berapakah panjang dan lebar maksimum tanah Pak Hadi?
Penyelesaian:
a. Misalkan panjang tanah = x maka lebar tanah = (x – 15).
Karena kelilingnya tidak lebih dari 350 m maka kalimat matematikanya 2(x – 15) + 2x ≤ 350.
b. 2(x – 15) + 2x ≤ 350
⇔ 2x – 30 + 2x ≤ 350
⇔ 4x – 30 ≤ 350
⇔ 4x ≤ 350 + 30
⇔ 4x ≤ 380
⇔ x ≤ 95
Jadi, panjang maksimum = 95 m dan lebar maksimum = 80 m.
x – 15
x
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT